有 12 个完全相同的信封，其中 11 个装的均为 1 枚等重的硬币，剩下的 1 个装的是一枚较重的硬币。现需要找到那枚较重的硬币，若有一台没有砝码的天平，每次称量需要支付 1 元。此外，也可花费 2 元购买一次提示：排除 4 个错误信封，但最多只可购买 1 次提示。为保证找到那枚较重的硬币，最低花费是 ___ 元。

1. 分析是否可能在花费小于 3 元的情况下保证找出目标信封

要保证找到较重的硬币，需在最坏情况下将候选信封数缩小为 $1$。
考虑总花费是否可能为 $2$ 元：

1. 若不购买提示，仅使用天平称量，花费 $2$ 元即最多称量 $2$ 次。每次没有砝码的天平称量最多有 $3$ 种结果（左重、右重、平衡），因此 $2$ 次称量最多能从 $3^2 = 9$ 个信封中确定较重硬币。因为 $12 > 9$，所以仅称量 $2$ 次无法保证找出。
2. 若购买 $1$ 次提示，提示本身需花费 $2$ 元，此时预算已用尽，无法再进行称量。购买提示后只能排除 $4$ 个错误信封，还剩 $12 - 4 = 8$ 个候选信封，无法确定哪一个是较重的硬币。

综上，花费低于 $3$ 元时无法保证找出较重硬币，最低保证花费至少为 $3$ 元。

2. 构造花费 3 元且能保证找出目标信封的可行方案

验证花费 $3$ 元（全用天平称量 $3$ 次，不购买提示）是否可行：

• 第 1 次称量：将 $12$ 个信封分为三组，每组 $4$ 个。天平两端各放 $4$ 个，剩余 $4$ 个放在台下。
  • 若天平不平衡，则较重的硬币在较重一侧的 $4$ 个信封中；
  • 若天平平衡，则较重的硬币在未称量的 $4$ 个信封中。
    无论结果如何，候选信封数均缩减为 $4$ 个。
• 第 2 次称量：在剩余的 $4$ 个信封中，取 $2$ 个分别置于天平两端，台下留 $2$ 个。
  • 若不平衡，则较重硬币在较重的一端（候选剩 $1$ 个，实际已提前确定）；
  • 若平衡，则较重硬币在剩下的 $2$ 个中。
• 第 3 次称量：将最后剩余的 $2$ 个信封分别置于天平两端，较重一端即为所求。

该方案在任何情况下最多只需称量 $3$ 次，花费为 $3 \times 1 = 3$ 元。
因此，为保证找到该硬币，最低花费是 $3$ 元。