已知圆柱$M$的底面半径为$2$，高为$6$，圆锥$N$的底面直径和母线长相等.若圆柱$M$和圆锥$N$的体积相等，则圆锥$N$的高为___．

1. 计算圆柱M的体积

已知圆柱$M$的底面半径 $R = 2$，高 $H = 6$。
根据圆柱的体积公式 $V = \pi R^2 H$，可得圆柱 $M$ 的体积为：
$V_M = \pi \times 2^2 \times 6 = 24\pi$

2. 用圆锥底面半径表示其高与体积

设圆锥 $N$ 的底面半径为 $r$，则其底面直径为 $2r$。
因为圆锥的母线长等于底面直径，所以母线长 $l = 2r$。
根据勾股定理，圆锥 $N$ 的高 $h$ 为：
$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{(2r)^2 - r^2} = \sqrt{3}r$
圆锥 $N$ 的体积为：
$V_N = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \sqrt{3}r = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$

3. 利用体积相等建立方程，求出圆锥底面半径与高

由圆柱 $M$ 和圆锥 $N$ 的体积相等，可得：
$24\pi = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$
两边同除以 $\pi$ 整理可得：
$r^3 = 24\sqrt{3} = (2\sqrt{3})^3$
解得圆锥的底面半径为：
$r = 2\sqrt{3}$
因此，圆锥 $N$ 的高为：
$h = \sqrt{3}r = \sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 6$