将一个正方体的 8 个顶点和 12 条棱分别进行“切割”处理：第 1 步，在 8 个顶点处各切下一块，产生 8 个正三角形截面；第 2 步，在 12 条原始的棱处切下一块，产生 12 个矩形截面。处理完成后，原来的正方形面变成了正八边形面。那么，这个新生成的多面体共有 13 个顶点。

A. 16

B. 24

C. 36

D. 48

1. 确定切割后新多面体的面数 $F$

正方体原有 $6$ 个面、$8$ 个顶点和 $12$ 条棱。
根据题意进行切割处理：

• 原来的 $6$ 个正方形面被切去角后变成了 $6$ 个正八边形面；
• 在 $8$ 个顶点处切下，产生了 $8$ 个正三角形截面；
• 在 $12$ 条原始棱处切下，产生了 $12$ 个矩形截面。

因此，新多面体的总面数为：
$F = 6 + 8 + 12 = 26$

2. 计算新多面体的总棱数 $E$

多面体的每一条棱都是两个相邻多边形面的公共边。
统计所有面的边数总和：

• $6$ 个正八边形面共有 $6 \times 8 = 48$ 条边；
• $12$ 个矩形面共有 $12 \times 4 = 48$ 条边；
• $8$ 个正三角形面共有 $8 \times 3 = 24$ 条边。

所有面的边数之和为：
$48 + 48 + 24 = 120$
因此，新多面体的棱数 $E$ 为：
$E = \frac{120}{2} = 60$

3. 运用多面体欧拉公式求出顶点数 $V$

对于任意凸多面体，满足欧拉公式：
$V - E + F = 2$
将 $F = 26$ 和 $E = 60$ 代入公式，解得顶点数 $V$：
$V = E - F + 2 = 60 - 26 + 2 = 36$

故该多面体共有 $36$ 个顶点，对应选项 C。