如果一个圆锥和一个圆柱的体积相等，那么圆锥的高一定是圆柱的高的$3$倍． ___ $.($判断对错$)$

1. 写出圆柱与圆锥的体积公式并建立等量关系

设圆柱的底面积为 $S_{\text{柱}}$，高为 $h_{\text{柱}}$，则圆柱的体积为：
$V_{\text{柱}} = S_{\text{柱}} h_{\text{柱}}$
设圆锥的底面积为 $S_{\text{锥}}$，高为 $h_{\text{锥}}$，则圆锥的体积为：
$V_{\text{锥}} = \dfrac{1}{3} S_{\text{锥}} h_{\text{锥}}$
已知圆柱和圆锥的体积相等，即 $V_{\text{柱}} = V_{\text{锥}}$，可得：
$S_{\text{柱}} h_{\text{柱}} = \dfrac{1}{3} S_{\text{锥}} h_{\text{锥}}$
变形得：
$\dfrac{h_{\text{锥}}}{h_{\text{柱}}} = 3 \times \dfrac{S_{\text{柱}}}{S_{\text{锥}}}$

2. 分析圆锥高与圆柱高的比例关系并举反例说明

由此可知，只有当圆柱与圆锥的底面积相等（即 $S_{\text{柱}} = S_{\text{锥}}$）时，圆锥的高才是圆柱的高的 $3$ 倍。
若底面积不相等，则不一定。例如：
令圆柱底面积 $S_{\text{柱}} = 12$，高 $h_{\text{柱}} = 3$，则体积 $V_{\text{柱}} = 12 \times 3 = 36$；
令圆锥底面积 $S_{\text{锥}} = 9$，高 $h_{\text{锥}} = 12$，则体积 $V_{\text{锥}} = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 12 = 36$；
此时两几何体体积相等，但圆锥的高是圆柱的高的 $12 \div 3 = 4$ 倍，并非 $3$ 倍。
因此，原题说法错误。