In an equiangular hexagon, all interior angles measure $120^\circ$. An example of such a hexagon with side lengths of 2, 3, 1, 3, 2, and 2 is shown below, inscribed in equilateral triangle ABC. Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in $\triangle ABC$, with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

1. 确定等边三角形 $ABC$ 的边长及六边形边长的代数关系

等角六边形的各内角均为 $120^\circ$。当其内接于等边三角形 $\triangle ABC$ 时，六边形在 $\triangle ABC$ 的三个顶角处各截出一个小等边三角形。
设这三个角顶小等边三角形的边长分别为 $x_1, x_3, x_5$，六边形位于 $\triangle ABC$ 三条边上的边长分别为 $x_2, x_4, x_6$（按顺时针/逆时针顺序依次为 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$）。
根据已知样例（边长为 2, 3, 1, 3, 2, 2），等边三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $S = 2 + 3 + 1 = 6$。
因此，任何满足条件的六边形边长 $x_i \in \mathbb{Z}^+$ 均须满足：
$x_1 + x_2 + x_3 = 6$
$x_3 + x_4 + x_5 = 6$
$x_5 + x_6 + x_1 = 6$

2. 推导 $x_1, x_3, x_5$ 的约束条件并消元

由于 $x_2, x_4, x_6 \ge 1$，由上述方程可得：
$x_2 = 6 - x_1 - x_3 \ge 1 \implies x_1 + x_3 \le 5$
$x_4 = 6 - x_3 - x_5 \ge 1 \implies x_3 + x_5 \le 5$
$x_6 = 6 - x_5 - x_1 \ge 1 \implies x_5 + x_1 \le 5$
因此，只要确定满足两两之和不超过 5 的正整数三元组 $(x_1, x_3, x_5)$，即可唯一确定整组边长序列 $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$。

3. 按多重集分类穷举所有不旋转/翻转重合的六边形

旋转或翻转后重合的六边形视为同一种，即对应六边形边长序列在二面体群 $D_6$ 作用下的等价类。我们按三元组 $\{x_1, x_3, x_5\}$ 的多重集进行分类讨论：

1. 多重集 $\{1, 1, 1\}$：取 $(1, 1, 1)$，得边长序列 $(1, 4, 1, 4, 1, 4)$；
2. 多重集 $\{2, 2, 2\}$：取 $(2, 2, 2)$，得边长序列 $(2, 2, 2, 2, 2, 2)$；
3. 多重集 $\{1, 1, 2\}$：取 $(2, 1, 1)$，得边长序列 $(2, 3, 1, 4, 1, 3)$；
4. 多重集 $\{1, 1, 3\}$：取 $(3, 1, 1)$，得边长序列 $(3, 2, 1, 4, 1, 2)$；
5. 多重集 $\{1, 2, 2\}$：取 $(2, 1, 2)$，得边长序列 $(2, 3, 1, 3, 2, 2)$；
6. 多重集 $\{2, 2, 3\}$：取 $(3, 2, 2)$，得边长序列 $(3, 1, 2, 2, 2, 1)$；
7. 多重集 $\{1, 1, 4\}$：取 $(4, 1, 1)$，得边长序列 $(4, 1, 1, 4, 1, 1)$；
8. 多重集 $\{1, 2, 3\}$：取 $(1, 2, 3)$，得边长序列 $(1, 3, 2, 1, 3, 2)$。

4. 检验各解的互异性并得出结论

统计这 8 种情况对应的六边形边长多重集（六条边的无序集合）：

1. $\{1, 1, 1, 4, 4, 4\}$
2. $\{2, 2, 2, 2, 2, 2\}$
3. $\{1, 1, 2, 3, 3, 4\}$
4. $\{1, 1, 2, 2, 3, 4\}$
5. $\{1, 2, 2, 2, 3, 3\}$
6. $\{1, 1, 2, 2, 2, 3\}$
7. $\{1, 1, 1, 1, 4, 4\}$
8. $\{1, 1, 2, 2, 3, 3\}$

这 8 个多重集互不相同，说明这 8 种六边形两两不全等（无法通过旋转或翻转重合）。
因此，满足条件的六边形共有 8 个，选项为 C。