已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为

1. 分析裁剪方式并计算长方体原表面积

由题意可知，用一个平面将长方体截成两个三棱柱，该平面必通过长方体的一组相对的平行棱，截面为矩形。
长方体的长、宽、高分别为 $a = 5$，$b = 4$，$c = 3$。
长方体原表面积为：
$S_{\text{原}} = 2(ab + bc + ca) = 2(5 \times 4 + 4 \times 3 + 3 \times 5) = 2(20 + 12 + 15) = 94$

2. 分类讨论三种不同的截法，并计算新增截面面积

截成两个三棱柱后，两个三棱柱的表面积之和等于原长方体的表面积加上两个截面的面积，即 $S_{\text{和}} = S_{\text{原}} + 2S_{\text{截面}}$。
根据截面所过的平行棱不同，分以下三种情况讨论：

• 情况一：截面过长为 $c = 3$ 的平行棱，此时截面另一边为底面（$5 \times 4$）的对角线，其长度为 $d_1 = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$。
  截面面积为 $S_{\text{截1}} = 3\sqrt{41}$。
  两个三棱柱表面积之和为 $S_1 = 94 + 2 \times 3\sqrt{41} = 94 + 6\sqrt{41}$。

• 情况二：截面过长为 $b = 4$ 的平行棱，此时截面另一边为侧面（$5 \times 3$）的对角线，其长度为 $d_2 = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
  截面面积为 $S_{\text{截2}} = 4\sqrt{34}$。
  两个三棱柱表面积之和为 $S_2 = 94 + 2 \times 4\sqrt{34} = 94 + 8\sqrt{34}$。

• 情况三：截面过长为 $a = 5$ 的平行棱，此时截面另一边为侧面（$4 \times 3$）的对角线，其长度为 $d_3 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
  截面面积为 $S_{\text{截3}} = 5 \times 5 = 25$。
  两个三棱柱表面积之和为 $S_3 = 94 + 2 \times 25 = 144$。

3. 比较三种情况的结果并求最大值

我们需要比较 $S_1, S_2, S_3$ 的大小，只需比较各新增面积的大小，即比较 $6\sqrt{41}$，$8\sqrt{34}$ 与 $50$ 的大小：

• $(6\sqrt{41})^2 = 36 \times 41 = 1476$
• $(8\sqrt{34})^2 = 64 \times 34 = 2176$
• $50^2 = 2500$

因为 $1476 < 2176 < 2500$，所以 $6\sqrt{41} < 8\sqrt{34} < 50$。
因此，$S_3 = 144$ 为最大值。

故这两个三棱柱表面积之和的最大值为 144。