一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）

A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形

B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形

C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形

D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

1. 确定正多边形的边数

根据正多边形的旋转对称性，正 $n$ 边形绕其中心旋转最小角度 $\frac{360^\circ}{n}$ 后能与自身重合。
已知正多边形绕它的中心旋转 $45^\circ$ 后与原正多边形第一次重合，则有：
$\frac{360^\circ}{n} = 45^\circ$
解得 $n = 8$。
因此，这个正多边形是正八边形。

2. 分析该正多边形的对称性并做出选择

根据正多边形的对称性质：

1. 所有的正多边形都是轴对称图形，因此正八边形是轴对称图形；
2. 边数为偶数的正多边形也是中心对称图形。正八边形的边数 $8$ 是偶数，因此正八边形是中心对称图形。
   综上所述，该正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
   故选 C。