定义 $a * b = (a - 1) * (b - 1)$，$1 * 2 = 5$，则 $1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + \dots + 2023 * 2024 =$ ___

1. 推导通项 $n * (n + 1)$ 的值

根据新运算的定义 $a * b = (a - 1) * (b - 1)$，对于任意正整数 $n$，有：
$n * (n + 1) = (n - 1) * n = (n - 2) * (n - 1) = \dots = 1 * 2$
已知 $1 * 2 = 5$，因此对所有正整数 $n$，均有：
$n * (n + 1) = 5$

2. 确定求和项数并计算最终结果

在算式 $1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + \dots + 2023 * 2024$ 中，共有 $2023$ 项，且每一项的值都等于 $5$。
因此，该式的和为：
$2023 \times 5 = 10115$