一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为$1680^{\circ}$那么除去的这个内角的度数为 ___ ．

1. 设多边形边数并根据内角和公式建立等式关系

设该多边形的边数为 $n$ ($n \ge 3$ 且 $n$ 为正整数)，被除去的内角为 $x$．
根据凸多边形的内角范围，有 $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$．
根据多边形内角和公式，该多边形所有内角之和为 $(n-2) \times 180^{\circ}$．
由题意可得：
$(n-2) \times 180^{\circ} - x = 1680^{\circ}$
即：
$(n-2) \times 180^{\circ} = 1680^{\circ} + x$

2. 利用内角范围和整除特性求出多边形的边数

因为 $0^{\circ} < x < 180^{\circ}$，所以：
$1680^{\circ} < (n-2) \times 180^{\circ} < 1680^{\circ} + 180^{\circ} = 1860^{\circ}$
用 $1680^{\circ} \div 180^{\circ}$ 进行计算：
$1680^{\circ} \div 180^{\circ} = 9 \dots 60^{\circ}$
由于 $n-2$ 是正整数，所以 $(n-2) \times 180^{\circ}$ 必须是 $180^{\circ}$ 的整数倍，且大于 $1680^{\circ}$。
因此，当且仅当 $n-2 = 10$ 时，内角和为：
$10 \times 180^{\circ} = 1800^{\circ}$
此时 $n = 12$．

3. 计算除去的内角度数并作答

将 $(n-2) \times 180^{\circ} = 1800^{\circ}$ 代入原方程：
$x = 1800^{\circ} - 1680^{\circ} = 120^{\circ}$
经检验，$120^{\circ}$ 介于 $0^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 之间，符合题意．
所以除去的这个内角的度数为 $120^{\circ}$．