如下图，一个$6 \times 5 \times 7$的长方体，将其表面涂成蓝色，并切成210个大小相同的小正方体．那么其中三面、两面、一面被涂成蓝色的小正方体各有多少个？没有被涂色的小正方体有多少个？

1. 求三面被涂成蓝色的小正方体个数

三面涂色的小正方体位于长方体的 8 个顶点处，因此共有 $8$ 个。

2. 求两面被涂成蓝色的小正方体个数

两面涂色的小正方体位于长方体的 12 条棱上（除去顶点处的小正方体）。
长方体的长、宽、高分别为 $6$、$5$、$7$。

• 长度为 $6$ 的 4 条棱上各有 $6 - 2 = 4$ 个；
• 长度为 $5$ 的 4 条棱上各有 $5 - 2 = 3$ 个；
• 长度为 $7$ 的 4 条棱上各有 $7 - 2 = 5$ 个。

两面涂色的个数为：
$4 imes (6 - 2) + 4 imes (5 - 2) + 4 imes (7 - 2) = 4 imes 4 + 4 imes 3 + 4 imes 5 = 16 + 12 + 20 = 48\text{（个）}$

3. 求一面被涂成蓝色的小正方体个数

一面涂色的小正方体位于长方体的 6 个面上（除去棱和顶点处的小正方体）。

• 两个 $6 imes 5$ 的面上各有 $(6 - 2) imes (5 - 2) = 4 imes 3 = 12$ 个；
• 两个 $6 imes 7$ 的面上各有 $(6 - 2) imes (7 - 2) = 4 imes 5 = 20$ 个；
• 两个 $5 imes 7$ 的面上各有 $(5 - 2) imes (7 - 2) = 3 imes 5 = 15$ 个。

一面涂色的个数为：
$2 imes (12 + 20 + 15) = 2 imes 47 = 94\text{（个）}$

4. 求没有被涂色的小正方体个数，并进行总数检验

没有涂色的小正方体位于长方体内部中心区域，其长、宽、高分别减少 2：
$(6 - 2) imes (5 - 2) imes (7 - 2) = 4 imes 3 imes 5 = 60\text{（个）}$

检验总数：
$8 + 48 + 94 + 60 = 210\text{（个）}$
与题目中的 210 个小正方体一致。