卫生部对 120 种食物是否含有维生素 $A$，$C$，$E$ 进行调查，结果发现：含维生素 $A$ 的有 62 种，含维生素 $C$ 的有 90 种，含维生素 $E$ 的有 68 种，同时含维生素 $A$ 和 $C$ 的有 48 种，同时含维生素 $A$ 和 $E$ 的有 36 种，同时含维生素 $C$ 和 $E$ 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种. 请问：

1. 利用三集合容斥原理求出至少含有一维维生素的食物种数

设全集 $U$ 的元素个数为 $120$，$A$、$C$、$E$ 分别表示含有维生素 $A$、$C$、$E$ 的食物集合.
根据三集合容斥原理公式：
$|A \cup C \cup E| = |A| + |C| + |E| - |A \cap C| - |A \cap E| - |C \cap E| + |A \cap C \cap E|$
代入已知数据得：
$|A \cup C \cup E| = 62 + 90 + 68 - 48 - 36 - 50 + 25 = 111$
即至少含有一维维生素的食物有 $111$ 种.

2. 求三种维生素都不含的食物种数

用食物总数减去至少含有一种维生素的食物种数：
$|U| - |A \cup C \cup E| = 120 - 111 = 9$
所以这三种维生素都不含的食物有 $9$ 种.

1. 计算仅含维生素 A 的食物种数

在集合 $A$ 中，同时含维生素 $A$ 和 $C$ 但不含 $E$ 的食物有：
$|A \cap C| - |A \cap C \cap E| = 48 - 25 = 23$
同时含维生素 $A$ 和 $E$ 但不含 $C$ 的食物有：
$|A \cap E| - |A \cap C \cap E| = 36 - 25 = 11$
同时含三种维生素的食物有 $25$ 种.
因此，仅含维生素 $A$ 的食物种数为：
$|A| - 23 - 11 - 25 = 62 - 59 = 3$
（或直接应用公式：$62 - 48 - 36 + 25 = 3$）.