$N$ 是一个由 2026 个数字“1”组成的多位数，即 $N = \underbrace{111 \dots 1}_{2026\text{个}}$，那么 $N$ 除以 13 的余数是 ___。

1. 寻找全1数被13整除的周期

注意到 $1001 = 7 \times 11 \times 13$，所以 $1001$ 能被 13 整除。
由 6 个数字“1”组成的数可表示为：
$111111 = 111 \times 1001 = 111 \times 13 \times 77$
因此 $111111$ 是 13 的倍数，即连续 6 个“1”组成的数除以 13 的余数为 0。

2. 确定2026个数字1按6个一组分组后的剩余位数

计算位数 2026 除以 6 的商和余数：
$2026 \div 6 = 337 \text{ 余 } 4$
这意味着数 $N$ 可以分解为 337 个长度为 6 的全“1”数块以及末尾的 4 个数字“1”。
由于每个长度为 6 的全“1”数块均能被 13 整除，其在高位乘以 $10^k$ 后依然能被 13 整除，故：
$N \equiv 1111 \pmod{13}$

3. 计算最终余数

计算 $1111$ 除以 13 的余数：
$1111 = 13 \times 85 + 6$
因此，$N$ 除以 13 的余数是 6。