$\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^2} dx = ?$

A) $1$

B) $\ln 2$

C) $2$

D) $\ln 4$

1. 识别被积函数的形式并求出不定积分

观察被积函数 $\frac{2x}{1+x^2}$，由于分母的导数为 $(1+x^2)' = 2x$，分子恰好为分母的导数。
根据公式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln|f(x)| + C$，可得：
$\int \frac{2x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \ln(1+x^2) + C$

2. 代入积分上下限计算定积分的值

代入积分上限 $1$ 和下限 $0$：
$\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \left[ \ln(1+x^2) \right]_{0}^{1} = \ln(1+1^2) - \ln(1+0^2) = \ln 2 - \ln 1$
因为 $\ln 1 = 0$，所以：
$\ln 2 - 0 = \ln 2$
对应选项 B。