[基本と演習テーマ数学B 問題48]
和 $S=1 \cdot 1+2 \cdot 4+3 \cdot 4^{2}+\dots\dots+n \cdot 4^{n-1}$ を求めよ。

1. 两边同乘等比部分的公比并作差

已知数列各项为等差数列 $\{n\}$ 与等比数列 $\{4^{n-1}\}$ 的对应项之积，公比为 $4$。
将 $S$ 展开并两边同时乘以 $4$：

两式相减得：
$S - 4S = 1 + (4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}) - n \cdot 4^n$
即：
$-3S = (1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}) - n \cdot 4^n$

2. 应用等比数列求和公式并化简求出 $S$

式中 $1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1}$ 为首项为 $1$、公比为 $4$、项数为 $n$ 的等比数列之和：
$1 + 4 + 4^2 + \dots + 4^{n-1} = \frac{1 \cdot (4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3}$
将其代入上式：
$-3S = \frac{4^n - 1}{3} - n \cdot 4^n = \frac{(1 - 3n)4^n - 1}{3}$
两边同时除以 $-3$，得：
$S = \frac{(3n - 1)4^n + 1}{9}$