将标号为$1$，$2$，$3$，$4$的四个小球放入三个标号为$1$，$2$，$3$的盒子中，每个盒子至少放一个球，且标号为$1$，$2$的两个小球不能放入同一个盒子中，则不同的放法有$(\quad)$

A. $20$种

B. $15$种

C. $42$种

D. $30$种

1. 确定小球的分组结构

将 $4$ 个不同的小球放入 $3$ 个不同的盒子中，且每个盒子至少放一个球。根据分配原则，四个小球得分成三组，其数量结构只能为 $2, 1, 1$。

2. 计算符合条件的分组方式种数

在将 $4$ 个小球分为三组（数量分别为 $2, 1, 1$）的所有分法中，总的分组方法数相当于从 $4$ 个小球中选出 $2$ 个作为一组，有 $C_4^2 = 6$ 种。
其中标号为 $1, 2$ 的两个小球放入同一个盒子（即分在同一组）的情况只有 $1$ 种（即 $\{1, 2\}, \{3\}, \{4\}$）。
因此，标号为 $1, 2$ 的小球不在同一组的分组方法种数为 $C_4^2 - 1 = 5$ 种。

3. 计算将分好的组分入盒子的排列数并求总数

将分好的三组分到三个不同的盒子中，相当于对三组进行全排列，共有 $A_3^3 = 6$ 种方法。
根据分步乘法计数原理，不同的放法总共有 $5 \times 6 = 30$ 种。