Charlotte the spider is walking along a web shaped like a 5-pointed star, shown in the figure below. The web has 5 outer points and 5 inner points. Each time Charlotte reaches a point, she randomly chooses a neighboring point and moves to that point. Charlotte starts at one of the outer points and makes 3 moves (revisiting points is allowed). What is the probability she is now at one of the inner points of the star ?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{5}$

E. $\frac{3}{4}$

1. 分析五角星网格的图结构及单步转移概率

五角星由5条相交线段组成，共有5个外部顶点（外角顶点）和5个内部顶点（线段交点）。

• 每个外部顶点连有2条线段，其2个相邻顶点均为内部顶点。因此，从任意外部顶点出发，下一步移动到内部顶点的概率为 $1$，移动到外部顶点的概率为 $0$。
• 每个内部顶点连有4条线段，分别连向2个外部顶点和2个内部顶点。因此，从任意内部顶点出发，下一步移动到外部顶点的概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，移动到内部顶点的概率为 $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

2. 逐步推导并计算3次移动后处于内部顶点的概率

设夏洛特在第 $n$ 次移动后位于外部顶点和内部顶点的概率分别为 $P(O_n)$ 和 $P(I_n)$。

• 初始状态（第0步）：位于某一外部顶点，即 $P(O_0) = 1$，$P(I_0) = 0$。
• 第1次移动后：
  $P(I_1) = 1, \quad P(O_1) = 0$
• 第2次移动后：
  $P(O_2) = P(I_1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
  $P(I_2) = P(I_1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
• 第3次移动后：
  夏洛特处于内部顶点的概率为来自第2步处于外部顶点和处于内部顶点的两类互斥情形之和：
  $P(I_3) = P(O_2) \times 1 + P(I_2) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
  因此，正确选项为 E。