函数$f(x)=xe^{-x}$，$x∈[0,4]$的最大值是$()$

A. $0$

B. $\dfrac {1}{e}$

C. $\dfrac {4}{e^{4}}$

D. $\dfrac {2}{e^{2}}$

1. 对函数进行求导

根据导数的乘积求导法则与复合函数求导法则，对函数 $f(x)=xe^{-x}$ 求导：
$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

2. 分析导数符号确定函数的单调性

因为 $x \in [0,4]$，且 $e^{-x} > 0$ 恒成立：

• 当 $0 \leqslant x < 1$ 时，$f'(x) > 0$，此时 $f(x)$ 单调递增；
• 当 $1 < x \leqslant 4$ 时，$f'(x) < 0$，此时 $f(x)$ 单调递减。
  因此，函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，也是区间 $[0,4]$ 上的最大值。

3. 计算函数最大值并得出结论

将 $x=1$ 代入原函数，计算最大值：
$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$
结合选项，正确答案为 B。