记等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$a_{1}=\sqrt{5}$，$a_{2}+a_{2021}=0$，则$S_{2022}=$___ ；当$S_{n}$取得最大值时，$n=$___ .

1. 求 $S_{2022}$ 的值

根据等差数列的前 $n$ 项和公式与性质，可知：
$S_{2022} = \frac{2022(a_1 + a_{2022})}{2} = 1011(a_1 + a_{2022})$
因为在等差数列中，当 $p + q = s + t$ 时有 $a_p + a_q = a_s + a_t$，所以：
$a_1 + a_{2022} = a_2 + a_{2021}$
已知 $a_2 + a_{2021} = 0$，代入得：
$S_{2022} = 1011 \times 0 = 0$

2. 判断 $S_n$ 取得最大值时的 $n$ 值

因为 $a_2 + a_{2021} = 0$，且 $2 + 2021 = 2023$，
又 $1011 + 1012 = 2023$，根据等差数列性质有：
$a_{1011} + a_{1012} = a_2 + a_{2021} = 0$
由等差数列通项公式，设公差为 $d$，则 $a_2 + a_{2021} = 2a_1 + 2021d = 0$。
已知 $a_1 = \sqrt{5} > 0$，所以：
$d = -\frac{2\sqrt{5}}{2021} < 0$
因此等差数列 $\{a_n\}$ 是单调递减数列。
由 $a_{1011} + a_{1012} = 0$ 且数列单调递减，可得：
$a_{1011} > 0, \quad a_{1012} < 0$
这说明从第 $1$ 项到第 $1011$ 项均为正数，从第 $1012$ 项起均为负数。
因此，当 $n = 1011$ 时，前 $n$ 项和 $S_n$ 取得最大值。