黄油老师一起做游戏，岛主把两个不同一位数的和告诉了光光，把它们的差告诉了飞飞，把它们的积告诉了思密达。光光说：我不知道这两个数是多少。飞飞说：我也不知道这两个数是多少。思密达说：我也不知道这两个数是多少，而且我早就知道你们两个不可能知道这两个数是多少。飞飞想了想说：我还是不知道这两个数是多少。光光说：刚才我也不知道，但是飞飞说了我就知道了。那么这两个数是___和___。（本题14分）

1. 根据思密达的表述，筛选出所有符合条件的候选数对

设这两个不同的一位数分别为 $a, b$，且 $1 \le a < b \le 9$。满足条件的所有数对共有 $\binom{9}{2} = 36$ 组。

思密达说：“我也不知道这两个数是多少，而且我早就知道你们两个不可能知道这两个数是多少。”

• “我也不知道”说明积 $P = a \times b$ 在 $36$ 组数对中不唯一；
• “早就知道你们不可能知道”说明对于积为 $P$ 的所有分解数对，其和 $S = a + b$ 在 $36$ 组中均不唯一（光光不可能知道），且其差 $D = b - a$ 在 $36$ 组中也均不唯一（飞飞不可能知道）。

对 $36$ 组数对的积进行统计，非唯一的积有 $6, 8, 12, 18, 24$ 五种，共对应 $10$ 组候选数对：

1. $P = 6$：$(1,6)$（$S=7, D=5$），$(2,3)$（$S=5, D=1$）
2. $P = 8$：$(1,8)$（$S=9, D=7$），$(2,4)$（$S=6, D=2$）
3. $P = 12$：$(2,6)$（$S=8, D=4$），$(3,4)$（$S=7, D=1$）
4. $P = 18$：$(2,9)$（$S=11, D=7$），$(3,6)$（$S=9, D=3$）
5. $P = 24$：$(3,8)$（$S=11, D=5$），$(4,6)$（$S=10, D=2$）

这 $10$ 组数对中的每一组，其和 $S$ 和差 $D$ 在全集中都不是唯一的，完全符合思密达的条件。因此剩余候选数对为这 $10$ 组。

2. 根据飞飞再次说话的内容，进一步排除不可能的数对

飞飞知道差 $D$。飞飞说：“我还是不知道这两个数是多少。”

检查上述 $10$ 组候选数对中差 $D$ 的分布：

• $D=1$：$(2,3), (3,4)$（$2$ 组）
• $D=2$：$(2,4), (4,6)$（$2$ 组）
• $D=3$：$(3,6)$（仅 $1$ 组）
• $D=4$：$(2,6)$（仅 $1$ 组）
• $D=5$：$(1,6), (3,8)$（$2$ 组）
• $D=7$：$(1,8), (2,9)$（$2$ 组）

若 $D$ 为 $3$ 或 $4$，飞飞就能直接确定数对。由于飞飞仍不知道，说明 $D \neq 3$ 且 $D \neq 4$，因此排除数对 $(3,6)$ 和 $(2,6)$。

此时剩余 $8$ 组数对：$(1,6), (2,3), (1,8), (2,4), (3,4), (2,9), (3,8), (4,6)$。

3. 根据光光最后的表述，锁定最终唯一解

光光知道和 $S$。光光说：“刚才我也不知道，但是飞飞说了我就知道了。”

1. “刚才我也不知道”：说明在排除前的 $10$ 组数对中，光光手中的和 $S$ 不唯一。
   对 $10$ 组数对的和 $S$ 进行分析：

• $S=5$：$(2,3)$（唯一）
• $S=6$：$(2,4)$（唯一）
• $S=7$：$(1,6), (3,4)$（不唯一）
• $S=8$：$(2,6)$（唯一）
• $S=9$：$(1,8), (3,6)$（不唯一）
• $S=10$：$(4,6)$（唯一）
• $S=11$：$(2,9), (3,8)$（不唯一）
  因此，光光手里的和 $S$ 必为 $7, 9, 11$ 之一。

1. “但是飞飞说了我就知道了”：说明在排除 $(3,6)$ 和 $(2,6)$ 后的 $8$ 组数对中，光光手中的和 $S$ 变成了唯一的：

• 若 $S=7$：仍有 $(1,6)$ 和 $(3,4)$ 两组，光光仍无法确定；
• 若 $S=11$：仍有 $(2,9)$ 和 $(3,8)$ 两组，光光仍无法确定；
• 若 $S=9$：因 $(3,6)$ 已被排除，仅剩 $(1,8)$ 一组，光光此时可以唯一确定！

故这两个数是 $1$ 和 $8$。