例题14 Alice and Bob set off from points $A$ and $B$ respectively at the same time, heading towards each other. At the same time, Cindy also sets off from point $B$ and walks towards $A$ at a constant speed. When Alice and Cindy meet, Bob has just reached the midpoint $C$ of $AB$. Afterwards, Cindy continues on and reaches point $A$, immediately turning around. When Alice and Bob meet at point $D$, Cindy has just returned to point $C$. If the distance between points $C$ and $D$ is 2023 meters, what is the distance between points $A$ and $B$? 爱丽丝、鲍勃分别从 $A$、$B$ 两地同时出发，相向而行，同时辛迪也从 $B$ 地出发向 $A$ 匀速行走。当爱丽丝和辛迪相遇时，鲍勃恰好走到 $AB$ 两地中点 $C$。随后辛迪继续向前，到达 $A$ 地后立刻调头，当爱丽丝和鲍勃在途中 $D$ 点相遇时，辛迪也恰好回到 $C$ 点。如果 $CD$ 两地的距离是 2023 米，那么 $A$、$B$ 两地的距离是 ___。

1. 建立爱丽丝、鲍勃和辛迪三人的速度关系方程

设 $A$、$B$ 两地距离为 $S$，爱丽丝、鲍勃和辛迪的速度分别为 $v_A$、$v_B$、$v_C$。

第一次相遇时：爱丽丝和辛迪相向而行并相遇，两人路程和为 $S$，经历时间为 $t_1 = \dfrac{S}{v_A + v_C}$。
此时鲍勃走到 $AB$ 中点 $C$，即行驶了 $\dfrac{1}{2}S$，经历时间为 $t_1 = \dfrac{S}{2v_B}$。
由此可得：
$v_A + v_C = 2v_B \quad \text{--- (1)}$

2. 通过第二次相遇列方程并求出三人的速度比

第二次相遇时：爱丽丝和鲍勃在 $D$ 点相遇，两人路程和为 $S$，经历时间为 $t_2 = \dfrac{S}{v_A + v_B}$。
此时辛迪从 $B$ 到达 $A$ 再折返回到 $C$，走过的总路程为 $S + \dfrac{1}{2}S = \dfrac{3}{2}S$，经历时间为 $t_2 = \dfrac{3S}{2v_C}$。
由此可得：
$\frac{S}{v_A + v_B} = \frac{3S}{2v_C} \implies v_C = \frac{3}{2}(v_A + v_B) \quad \text{--- (2)}$

将 (2) 式代入 (1) 式：
$v_A + \frac{3}{2}(v_A + v_B) = 2v_B$
$\frac{5}{2}v_A = \frac{1}{2}v_B \implies v_B = 5v_A$
进而求得：
$v_C = \frac{3}{2}(v_A + 5v_A) = 9v_A$
因此，三人的速度比为 $v_A : v_B : v_C = 1 : 5 : 9$。

3. 确定相遇点 D 的位置并计算 A、B 两地距离

爱丽丝与鲍勃相遇于 $D$ 点，爱丽丝走过的路程为：
$AD = \frac{v_A}{v_A + v_B} \times S = \frac{1}{1 + 5} S = \frac{1}{6}S$
已知中点 $C$ 满足 $AC = \dfrac{1}{2}S$，因此 $C$、$D$ 两点的距离为：
$CD = AC - AD = \frac{1}{2}S - \frac{1}{6}S = \frac{1}{3}S$
已知 $CD = 2023$ 米，可解得 $A$、$B$ 两地距离 $S$：
$S = 3 \times 2023 = 6069 \text{ 米}$