已知函数$f(x)=(2+2x-x^{2})e^{x}$，则$(\quad)$

A. $f(2)$是$f(x)$的极大值也是最大值

B. $f(2)$是$f(x)$的极大值但不是最大值

C. $f(-2)$是$f(x)$的极小值也是最小值

D. $f(x)$没有最大值也没有最小值

1. 对函数 $f(x)$ 求导，得到导函数 $f'(x)$

已知 $f(x) = (2+2x-x^2)e^x$，根据导数的乘法运算法则，得：

2. 通过导函数的符号变化确定函数的单调区间与极值

令 $f'(x) = 0$，因为 $e^x > 0$，所以可得 $4-x^2 = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = -2$。
当 $x < -2$ 或 $x > 2$ 时，$f'(x) < 0$，$f(x)$ 单调递减；
当 $-2 < x < 2$ 时，$f'(x) > 0$，$f(x)$ 单调递增。
因此，当 $x = 2$ 时，函数取得极大值 $f(2) = (2+4-4)e^2 = 2e^2$；
当 $x = -2$ 时，函数取得极小值 $f(-2) = (2-4-4)e^{-2} = -6e^{-2}$。

3. 分析最值并判断选项

根据单调性：

• 当 $x \leqslant 2$ 时，由于 $f(x)$ 在 $(-\infty, -2)$ 递减且在 $[-2, 2]$ 递增，因此 $f(x) \leqslant f(2)$；
• 当 $x > 2$ 时，由于 $f(x)$ 在 $(2, +\infty)$ 上单调递减，故 $f(x) < f(2)$。
  所以，对于任意 $x \in \mathbb{R}$，均有 $f(x) \leqslant f(2)$，即 $f(2)$ 是 $f(x)$ 的最大值，也是极大值。
  又当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to -\infty$，所以 $f(x)$ 没有最小值。
  综上，A 选项正确。