1. 将曲线 $C_1$ 的参数方程化为直角坐标方程
曲线 C1 的参数方程为 {x=5cosθy=5sinθ (θ 为参数).
利用 cos2θ+sin2θ=1,可得 C1 的直角坐标方程为:
x2+y2=5
2. 将曲线 $C_2$ 的参数方程化为直角坐标方程
曲线 C2 的参数方程为 ⎩⎨⎧x=5−22ty=−22t (t 为参数).
由第二式得 −22t=y,代入第一式得:
x=5+y⟹x−y−5=0
3. 联立方程组求交点的直角坐标
联立 C1 与 C2 的直角坐标方程:
{x2+y2=5x−y−5=0
由第二式得 y=x−5,代入第一式得:
x2+(x−5)2=5
2x2−25x=0⟹x(x−5)=0
解得 x=0 或 x=5.
当 x=0 时,y=−5;
当 x=5 时,y=0.
故交点的直角坐标为 (0,−5) 和 (5,0).
4. 将直角坐标转化为极坐标
设交点的极坐标为 (ρ,θ),其中 ρ≥0,θ∈[0,2π).
对于点 (5,0):
ρ=(5)2+02=5,极角 θ=0,极坐标为 (5,0);
对于点 (0,−5):
ρ=02+(−5)2=5,极角 θ=23π,极坐标为 (5,23π).
综上,交点的极坐标为 (5,0) 或 (5,23π).
答案(5,0) 或 (5,23π)