在直角坐标系xoyxoy中,曲线C1C_{1},C2C_{2}的参数方程分别为{x=5cos⁡θy=5sin⁡θ(θ \begin{cases} x= \sqrt {5}\cos θ \\ y= \sqrt {5}\sin θ\end{cases}(θ为参数))和{x=5−22ty=−22t(t \begin{cases} x= \sqrt {5}- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t为参数))则曲线C1C_{1},C2C_{2}的交点的极坐标 ___ .

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完整解法

1. 将曲线 $C_1$ 的参数方程化为直角坐标方程

曲线 C1C_1 的参数方程为 {x=5cos⁡θy=5sin⁡θ\begin{cases} x= \sqrt{5}\cos \theta \\ y= \sqrt{5}\sin \theta \end{cases} (θ\theta 为参数).
利用 cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1,可得 C1C_1 的直角坐标方程为:
x2+y2=5x^2 + y^2 = 5

2. 将曲线 $C_2$ 的参数方程化为直角坐标方程

曲线 C2C_2 的参数方程为 {x=5−22ty=−22t\begin{cases} x= \sqrt{5}- \dfrac{\sqrt{2}}{2}t \\ y=- \dfrac{\sqrt{2}}{2}t \end{cases} (tt 为参数).
由第二式得 −22t=y-\dfrac{\sqrt{2}}{2}t = y,代入第一式得:
x=5+y  ⟹  x−y−5=0x = \sqrt{5} + y \implies x - y - \sqrt{5} = 0

3. 联立方程组求交点的直角坐标

联立 C1C_1 与 C2C_2 的直角坐标方程:
{x2+y2=5x−y−5=0\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x - y - \sqrt{5} = 0 \end{cases}
由第二式得 y=x−5y = x - \sqrt{5},代入第一式得:
x2+(x−5)2=5x^2 + (x - \sqrt{5})^2 = 5
2x2−25x=0  ⟹  x(x−5)=02x^2 - 2\sqrt{5}x = 0 \implies x(x - \sqrt{5}) = 0
解得 x=0x = 0 或 x=5x = \sqrt{5}.
当 x=0x = 0 时,y=−5y = -\sqrt{5};
当 x=5x = \sqrt{5} 时,y=0y = 0.
故交点的直角坐标为 (0,−5)(0, -\sqrt{5}) 和 (5,0)(\sqrt{5}, 0).

4. 将直角坐标转化为极坐标

设交点的极坐标为 (ρ,θ)(\rho, \theta),其中 ρ≥0\rho \ge 0,θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi).
对于点 (5,0)(\sqrt{5}, 0):
ρ=(5)2+02=5\rho = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 0^2} = \sqrt{5},极角 θ=0\theta = 0,极坐标为 (5,0)(\sqrt{5}, 0);
对于点 (0,−5)(0, -\sqrt{5}):
ρ=02+(−5)2=5\rho = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5},极角 θ=3π2\theta = \dfrac{3\pi}{2},极坐标为 (5,3π2)(\sqrt{5}, \dfrac{3\pi}{2}).
综上,交点的极坐标为 (5,0)(\sqrt{5}, 0) 或 (5,3π2)(\sqrt{5}, \dfrac{3\pi}{2}).

答案

(5,0)(\sqrt{5}, 0) 或 (5,3π2)(\sqrt{5}, \dfrac{3\pi}{2})

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