下列命题是真命题的是 . ①一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等. ②有两边对应相等的两个直角三角形全等. ③有两边及一角对应相等的两个三角形全等. ④有两锐角及一边对应相等的两个三角形全等.

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完整解法

1. 分析命题①的真假性

对于①:在直角三角形中,除了已知的直角(90∘90^\circ)外,又已知一个锐角及这个锐角的对边对应相等。这样两个直角三角形中就有两组角和一组等角的对边对应相等。根据全等三角形判定定理“角角边”(AASAAS),这两个直角三角形全等。因此,①是真命题。

2. 分析命题②的真假性

对于②:已知两个直角三角形有两边对应相等,我们需要分情况讨论:

  1. 若这两边均为直角边,则它们的夹角均为直角(90∘90^\circ),根据“边角边”(SASSAS)定理,这两个直角三角形全等;
  2. 若这两边中有一条是直角边,另一条是斜边,根据“斜边、直角边”(HLHL)定理,这两个直角三角形全等。
    综上所述,有两边对应相等的两个直角三角形全等。因此,②是真命题。

3. 分析命题③的真假性

对于③:有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。若该角是这两边的夹角(即“SASSAS”),则两个三角形全等;若该角是其中一边的对角(即“SSASSA”),则无法判定全等(例如等腰三角形底角的邻边和底边形成的特殊情形可画出两种不同的三角形)。因此,③是假命题。

4. 分析命题④的真假性

对于④:有两锐角及一边对应相等,即这两个三角形有两个角和一条边对应相等。若该边是这两个角的夹边,由“角边角”(ASAASA)可得两三角形全等;若该边是其中一个角的对边,由“角角边”(AASAAS)可得两三角形全等。因此,④是真命题。

答案

①②④

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