设 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$，$x \leq k$。 a 求使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值。 b 对此 $k$ 值：i 求 $f^{-1}(x)$。ii 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 对二次函数进行配方，求出其对称轴

将 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$ 进行配方：
$f(x) = 2\left(x^2 - 5x\right) + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{25}{4} + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
因此，抛物线的对称轴为 $x = \frac{5}{2}$。

2. 根据反函数存在条件确定 $k$ 的最大值

要使反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，$f(x)$ 在定义域 $x \le k$ 上必须是一一对应（单调）的。
因为二次函数在对称轴左侧 $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$ 上单调递减，所以定义域上限 $k$ 最大可取到对称轴的位置。
故使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值为 $\frac{5}{2}$（或 $2.5$）。

1. 设 $y = f(x)$ 并变形出以 $(x - \frac{5}{2})$ 为主体的关系式

当 $k = \frac{5}{2}$ 时，定义域为 $x \le \frac{5}{2}$。
设 $y = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$，整理得：
$y + \frac{13}{2} = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2$
$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{2y + 13}{4}$

2. 结合定义域限制进行开方，求得 $f^{-1}(x)$ 的解析式

因为 $x \le \frac{5}{2}$，所以 $x - \frac{5}{2} \le 0$，开方时必须取负根：
$x - \frac{5}{2} = -\sqrt{\frac{2y + 13}{4}} = -\frac{\sqrt{2y + 13}}{2}$
$x = \frac{5 - \sqrt{2y + 13}}{2}$
将 $x$ 与 $y$ 互换，得到反函数：
$f^{-1}(x) = \frac{5 - \sqrt{2x + 13}}{2}$

1. 求 $f(x)$ 的值域，从而得到 $f^{-1}(x)$ 的定义域

当 $x \le \frac{5}{2}$ 时，$f(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$ 的最小值为 $-\frac{13}{2}$，且无上限。
因此 $f(x)$ 的值域为 $y \ge -\frac{13}{2}$。
由反函数的性质，原函数的值域即为反函数的定义域，故 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $x \ge -\frac{13}{2}$（即 $x \ge -6.5$）。

2. 根据 $f(x)$ 的定义域写出 $f^{-1}(x)$ 的值域

原函数 $f(x)$ 的定义域为 $x \le \frac{5}{2}$。
由反函数的性质，原函数的定义域即为反函数的值域，故 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $f^{-1}(x) \le \frac{5}{2}$（即 $y \le 2.5$）。