计算定积分 $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx$ 。

完整解法

1. 求出被积函数的原函数

根据幂函数的积分公式求被积函数 $3x^2 + 2x$ 的原函数：
$\int (3x^2 + 2x) \, dx = x^3 + x^2$

2. 代入积分上限与下限计算结果

应用微积分基本定理，代入上限 $2$ 与下限 $0$ ：
$\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_0^2 = (2^3 + 2^2) - (0^3 + 0^2) = 12$

答案

$12$

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