$24×138$，如果第二个因数增加$2$，那么积增加$(\quad)$

A. $2$

B. $20$

C. $48$

1. 分析因数变化对积的影响

根据乘法的意义及分配律，原式为 $24 \times 138$。
当第二个因数增加 $2$ 时，新的算式变为：
$24 \times (138 + 2)$
根据乘法分配律展开得：
$24 \times 138 + 24 \times 2$
因此，积增加的部分为：
$24 \times 2$

2. 计算积增加的具体数值并选出正确选项

计算增加的量：
$24 \times 2 = 48$
所以积增加了 $48$。
对应选项 C。
故选：$C$。