将一个自然数的各位数字相加，如果结果是一位数，这个数就是“数根”；如果结果是多位数，就继续把各位数字相加，直到得到一位数为止。例如：$64 \rightarrow 6+4 = 10 \rightarrow 1+0 = 1$，所以 64 的数根是 1。

1. 将数根为1转化为模9同余条件

因为一个自然数各位数字之和与原数关于模 9 同余，不断将各位数字相加所得的“数根”满足：
若自然数 $n$ 的数根为 1，则 $n \equiv 1 \pmod 9$。

2. 求三位数中除以9余1的数的个数

三位数的取值范围为 $100 \le n \le 999$。
最小的三位数满足除以 9 余 1 的是：
$100 = 9 \times 11 + 1$
最大的三位数满足除以 9 余 1 的是：
$991 = 9 \times 110 + 1$
因此，符合条件的三位数可表示为 $n = 9k + 1$，其中整数 $k$ 满足 $11 \le k \le 110$。
个数为：
$110 - 11 + 1 = 100$

1. 将乘积的数根转化为模9余数并寻找周期

$S = 2^{2026}$。根据数根的性质，自然数 $S$ 的数根等于 $S \bmod 9$（若余数为 0 则数根为 9）。
依次计算 2 的正整数次幂除以 9 的余数：

• $2^1 \equiv 2 \pmod 9$
• $2^2 \equiv 4 \pmod 9$
• $2^3 \equiv 8 \pmod 9$
• $2^4 = 16 \equiv 7 \pmod 9$
• $2^5 = 32 \equiv 5 \pmod 9$
• $2^6 = 64 \equiv 1 \pmod 9$
  余数呈现以 6 为周期的循环：$2, 4, 8, 7, 5, 1$。

2. 计算2026对应的周期位置得出数根

计算指数除以周期 6 的商和余数：
$2026 \div 6 = 337 \text{ 余 } 4$
因此：
$2^{2026} \equiv 2^4 \equiv 7 \pmod 9$
所以 $S$ 的数根是 7。