$x=?$
$8^x + 2^x = 130$

1. 运用指数法则与换元法将指数方程转化为三次方程

根据指数幂的运算性质，可将 $8^x$ 改写为：
$8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$
原方程化为：
$(2^x)^3 + 2^x = 130$
设 $u = 2^x$（其中 $u > 0$），代入得：
$u^3 + u - 130 = 0$

2. 因式分解求解一元三次方程的实数根

观察常数项 $130$ 的因数，尝试代入 $u = 5$：
$5^3 + 5 - 130 = 125 + 5 - 130 = 0$
由因式定理可知 $(u - 5)$ 是 $u^3 + u - 130$ 的因式。进行多项式除法因式分解：
$u^3 + u - 130 = (u - 5)(u^2 + 5u + 26) = 0$
对于二次方程 $u^2 + 5u + 26 = 0$：
其判别式为 $\Delta = 5^2 - 4 \times 1 \times 26 = 25 - 104 = -79 < 0$，无实数根。
因此，该方程唯一的实数根为：
$u = 5$

3. 回代换元并利用对数求出 $x$ 的值

将 $u = 5$ 回代入 $u = 2^x$，得：
$2^x = 5$
两边取以 $2$ 为底的对数，得：
$x = \log_2 5$