设 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$，$x \leq k$。 a 求使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值。 b 对此 $k$ 值：i 求 $f^{-1}(x)$。ii 写出 $f^{-1}(x)$ 的定义域和值域。

1. 对二次函数配方求其对称轴

将 $f(x) = 2x^2 - 10x + 6$ 进行配方：
$f(x) = 2\left(x^2 - 5x\right) + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{25}{4} + 6 = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
因此，抛物线 $y = f(x)$ 的对称轴为 $x = \frac{5}{2}$。

2. 根据反函数存在的单射条件求 $k$ 的最大值

要使反函数 $f^{-1}(x)$ 存在，函数 $f(x)$ 在定义域 $x \leq k$ 上必须是一对一映射（单射）。
由于 $f(x)$ 在区间 $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$ 上单调递减，在区间 $\left[\frac{5}{2}, +\infty\right)$ 上单调递增，因此使得 $f(x)$ 为一对一映射的最大区间为 $\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$。
故使 $f^{-1}(x)$ 存在的最大 $k$ 值为 $k = \frac{5}{2}$。

1. 将 $y = f(x)$ 变形为以 $x - \frac{5}{2}$ 为主元的等式

设 $y = f(x)$，对 $k = \frac{5}{2}$，有：
$y = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$
移项并整理得：
$2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = y + \frac{13}{2} = \frac{2y + 13}{2}$
$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{2y + 13}{4}$

2. 结合定义域限制进行开方并解出 $x$，写出反函数

两边开平方。因为定义域为 $x \leq \frac{5}{2}$，所以 $x - \frac{5}{2} \leq 0$，取负平方根：
$x - \frac{5}{2} = -\sqrt{\frac{2y + 13}{4}} = -\frac{\sqrt{2y + 13}}{2}$
解得：
$x = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{2y + 13}}{2} = \frac{5 - \sqrt{2y + 13}}{2}$
将 $x$ 与 $y$ 互换，得反函数：
$f^{-1}(x) = \frac{5 - \sqrt{2x + 13}}{2}$

1. 求原函数 $f(x)$ 的值域，从而确定 $f^{-1}(x)$ 的定义域

对于 $f(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{13}{2}$，当 $x \leq \frac{5}{2}$ 时，$\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 \geq 0$。
因此 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{13}{2}$，即 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\frac{13}{2}, +\infty\right)$（即 $y \geq -\frac{13}{2}$）。
根据反函数的性质，反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域等于原函数 $f(x)$ 的值域，故 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $x \geq -\frac{13}{2}$（或 $[-6.5, +\infty)$）。

2. 由原函数 $f(x)$ 的定义域得出 $f^{-1}(x)$ 的值域

原函数 $f(x)$ 的定义域为 $x \leq \frac{5}{2}$。
根据反函数的性质，反函数 $f^{-1}(x)$ 的值域等于原函数 $f(x)$ 的定义域，故 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $f^{-1}(x) \leq \frac{5}{2}$（或 $y \leq 2.5$）。