学校举办歌咏比赛，$7$位评委给某一位选手的平分不尽相同，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则下列统计量一定会发生变化的是$()$

A. 方差

B. 平均数

C. 众数

D. 中位数

1. 分析中位数是否发生变化

设原来的 $7$ 个评分按从小到大的顺序排列为 $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5 \le x_6 \le x_7$。
原数据的中位数为第 $4$ 个数，即 $x_4$。
去掉一个最高分 $x_7$ 和一个最低分 $x_1$ 后，剩余的 $5$ 个数按从小到大排列为 $x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5 \le x_6$。
此时剩余数据的中位数为第 $3$ 个数，仍为 $x_4$。
因此，中位数一定不发生变化。

2. 分析平均数和众数是否发生变化

可以通过举特例说明平均数和众数不一定会发生变化：

• 对于平均数：若 $7$ 个评分为 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$，其平均数为 $4$；去掉最高分 $7$ 和最低分 $1$ 后，剩余数据为 $2, 3, 4, 5, 6$，平均数仍为 $4$，没有发生变化。
• 对于众数：若 $7$ 个评分为 $1, 3, 3, 3, 4, 5, 6$，其众数为 $3$；去掉最高分 $6$ 和最低分 $1$ 后，剩余数据为 $3, 3, 3, 4, 5$，众数仍为 $3$，没有发生变化。
  因此，平均数和众数不一定会发生变化。

3. 分析方差是否发生变化并得出结论

方差是用来衡量一组数据波动大小（离散程度）的统计量。由于 $7$ 位评委的评分不尽相同，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的离散程度（离差平方和）会减小，即数据的波动变小，因此方差一定会变小（即一定会发生变化）。
综上所述，一定会发生变化的是方差。
故选：A。