等差数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$a_{1}=13$，$S_{3}=S_{11}$，当$S_{n}$最大时，$n$的值是 $(\quad)$

A. $5$

B. $6$

C. $7$

D. $8$

1. 利用等差数列的前 $n$ 项和公式求出公差 $d$

等差数列的前 $n$ 项和公式为 $S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$。
已知 $a_1 = 13$，代入可得：
$S_3 = 3 \times 13 + \frac{3 \times 2}{2}d = 39 + 3d$
$S_{11} = 11 \times 13 + \frac{11 \times 10}{2}d = 143 + 55d$

因为 $S_3 = S_{11}$，所以：
$39 + 3d = 143 + 55d$
解得 $52d = -104$，即 $d = -2$。

2. 写出通项公式并分析各项的正负，确定 $S_n$ 最大时 $n$ 的值

等差数列的通项公式为：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 13 - 2(n-1) = 15 - 2n$

由于公差 $d = -2 < 0$，数列单调递减。
要求前 $n$ 项和 $S_n$ 的最大值，只需让所有正数项相加。
令 $a_n > 0$，即 $15 - 2n > 0$，解得 $n < 7.5$。

因为 $n$ 为正整数，所以当 $n \le 7$ 时，$a_n > 0$；当 $n \ge 8$ 时，$a_n < 0$。
具体地，$a_7 = 15 - 2 \times 7 = 1 > 0$，$a_8 = 15 - 2 \times 8 = -1 < 0$。
由此可知，前 $7$ 项均为正数，自第 $8$ 项起为负数。
因此，当前 $n$ 项和 $S_n$ 最大时，$n$ 的值是 $7$。

故选 C。