在某张按规律排列的数表中，每行有 $7$ 个连续自然数（换行继续排）。小华用一个 $3 \times 3$ 的正方形框覆盖了其中的 $9$ 个方格，中心格子被遮挡，其余 $8$ 个格子露出的数字如下：$\begin{matrix} 15 & 16 & 17 \\ 22 & \text{（遮挡）} & 24 \\ 29 & 30 & 31 \end{matrix}$(1) 计算这露出的 $8$ 个数字的平均数；(2) 该平均数与中心被遮挡的数字有什么数量关系？请结合对称性简要说明原因。

1. 求出露出的8个数字的总和

将露出的 $8$ 个数字两两配对求和：
$\begin{aligned} \text{总和} &= (15 + 31) + (16 + 30) + (17 + 29) + (22 + 24) \\ &= 46 + 46 + 46 + 46 \\ &= 184 \end{aligned}$

2. 计算这8个数字的平均数

$\text{平均数} = \frac{184}{8} = 23$

1. 指出两者的数量关系并结合中心对称性给出理由

数量关系：该平均数与中心被遮挡的数字相等（均为 $23$）。

原因说明：
设中心被遮挡的数为 $x$（此处 $x = 23$）。在数表中，正方形框内关于中心对称的任意两个位置上的数，一个比中心数少若干，另一个必比中心数多相同的量：

• 左右对称：$22 + 24 = (x - 1) + (x + 1) = 2x$
• 上下对称：$16 + 30 = (x - 7) + (x + 7) = 2x$
• 对角对称：$15 + 31 = (x - 8) + (x + 8) = 2x$
• 对角对称：$17 + 29 = (x - 6) + (x + 6) = 2x$

因此，露出的 $8$ 个数可以组成 $4$ 对关于中心对称的数，每对之和都等于中心数的 $2$ 倍。露出的 $8$ 个数的总和为 $4 \times 2x = 8x$，其平均数为 $\frac{8x}{8} = x$，故该平均数与中心被遮挡的数字相等。