已知$a< b$，则$(\quad)$

A. $a+1< b+2$

B. $a-1>b-2$

C. $ac< bc$

D. $\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}$

1. 分析选项 A 的正确性

因为 $a < b$，根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上 $1$，不等号方向不变，得：
$a + 1 < b + 1$
又因为对于任意实数 $b$，显然有 $b + 1 < b + 2$，
所以根据不等式的传递性，可得：
$a + 1 < b + 2$
因此，选项 A 正确。

2. 利用特殊值排除 B、C、D 选项

可以通过取特殊值（举反例）来判断 B、C、D 选项：

• 对于 B：设 $a = 1$，$b = 2$，满足 $a < b$。此时 $a - 1 = 0$，$b - 2 = 0$，有 $a - 1 = b - 2$，因此 $a - 1 > b - 2$ 不恒成立，选项 B 错误；
• 对于 C：设 $c = 0$，此时 $ac = 0$，$bc = 0$，有 $ac = bc$，因此 $ac < bc$ 不恒成立，选项 C 错误；
• 对于 D：设 $c = 2$（或任意正数），根据不等式的基本性质，在 $a < b$ 两边同时除以 $2$，不等号方向不变，得 $\dfrac{a}{2} < \dfrac{b}{2}$，因此 $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ 不恒成立，选项 D 错误。

综上所述，正确选项为 A。