一组数据$3$，$4$，$4$，$5$，若添加一个数$4$，则发生变化的统计量是$(\quad)$

A. 平均数

B. 众数

C. 中位数

D. 方差

1. 计算原数据集的平均数、中位数、众数和方差

原数据集为 $3$，$4$，$4$，$5$，数据个数为 $4$。
平均数为：$\bar{x}_1 = \dfrac{3 + 4 + 4 + 5}{4} = 4$；
中位数为：中间两个数 $4$ 与 $4$ 的平均数，即 $4$；
众数为：出现次数最多的数 $4$；
方差为：$s_1^2 = \dfrac{1}{4} \left[ (3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 \times 2 + (5 - 4)^2 \right] = \dfrac{1}{4} \times (1 + 0 + 1) = 0.5$。

2. 计算添加数据后新数据集的各个统计量

添加一个数 $4$ 后，新数据集为 $3$，$4$，$4$，$4$，$5$，数据个数为 $5$。
平均数为：$\bar{x}_2 = \dfrac{3 + 4 + 4 + 4 + 5}{5} = 4$；
中位数为：中间的数 $4$；
众数为：出现次数最多的数 $4$；
方差为：$s_2^2 = \dfrac{1}{5} \left[ (3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 \times 3 + (5 - 4)^2 \right] = \dfrac{1}{5} \times (1 + 0 + 1) = 0.4$。

3. 对比数据并确定发生变化的统计量

对比计算结果，平均数（仍为 $4$）、中位数（仍为 $4$）、众数（仍为 $4$）均未发生变化；而方差由 $0.5$ 变为了 $0.4$，发生了变化。
因此，发生变化的统计量是方差。
故选：D。