将一个自然数的各位数字相加，如果结果是一位数，这个数就是“数根”；如果结果是多位数，就继续把各位数字相加，直到得到一位数为止。例如：$64 \to 6 + 4 = 10 \to 1 + 0 = 1$，所以 64 的数根是 1。

1. 将数根转化为模 9 的同余条件

因为任意自然数与其各位数字之和对 9 同余，所以一个正整数的数根即为其除以 9 的余数（若余数为 0，则数根为 9）。
数根为 1，即满足 $n \equiv 1 \pmod 9$。

2. 确定满足条件的三位数范围并求出个数

三位数的取值范围是 $100 \le n \le 999$。
因为 $100 = 9 \times 11 + 1$，所以最小的数是 $n = 100$（对应商为 11）；
因为 $999 = 9 \times 111$，所以不大于 999 且模 9 余 1 的最大数是 $9 \times 110 + 1 = 991$（对应商为 110）。
因此，$n = 9k + 1$ 中的整数 $k$ 的取值范围为 $11 \le k \le 110$。
符合条件的三位数共有：
$110 - 11 + 1 = 100 \text{（个）}$

1. 将原式表示为幂并寻找模 9 的余数周期

$S = 2^{2026}$。求 $S$ 的数根等价于求 $2^{2026}$ 除以 9 的余数。
考察 $2^n$ 模 9 的余数：

• $2^1 \equiv 2 \pmod 9$
• $2^2 \equiv 4 \pmod 9$
• $2^3 \equiv 8 \pmod 9$
• $2^4 \equiv 7 \pmod 9$
• $2^5 \equiv 5 \pmod 9$
• $2^6 \equiv 1 \pmod 9$
  余数按 $2, 4, 8, 7, 5, 1$ 循环出现，周期为 6。

2. 根据周期计算 $2^{2026}$ 模 9 的余数及数根

用指数 2026 除以周期 6：
$2026 \div 6 = 337 \cdots\cdots 4$
因此：
$2^{2026} \equiv 2^4 = 16 \equiv 7 \pmod 9$
因为余数为 7，且 $1 \le 7 \le 9$，所以 $S$ 的数根是 7。