若$(a+b)^{2}=7$，$(a-b)^{2}=3$，则$a^{2}+b^{2}$的值等于$()$

A. $7$

B. $6$

C. $5$

D. $4$

1. 展开两个完全平方公式

根据完全平方公式，可以将已知条件展开：
$(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} = 7 \quad ①$
$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2} = 3 \quad ②$

2. 两式相加求出目标代数式的值

将两式相加，消去中间项 $2ab$：
$① + ② \implies (a^{2} + 2ab + b^{2}) + (a^{2} - 2ab + b^{2}) = 7 + 3$
$2(a^{2} + b^{2}) = 10$
$a^{2} + b^{2} = 5$

因此，$a^{2} + b^{2}$ 的值为 $5$，对应选项 C。