将四棱锥$S-ABCD$的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有$5$种颜色可供使用，则不同的染色方法有$(\quad)$

A. $480$种

B. $360$种

C. $420$种

D. $320$种

1. 确定顶点 $S$ 的着色方法数

首先给顶点 $S$ 着色，因为有 5 种颜色可选，所以给 $S$ 着色的方法数为：
$C_5^1 = 5$ 种。

2. 分析底面四个顶点 $A, B, C, D$ 的可用颜色范围

由于四棱锥 $S-ABCD$ 的侧面均以 $S$ 为公共顶点，所以侧棱 $SA, SB, SC, SD$ 存在。这意味着底面的四个顶点 $A, B, C, D$ 都与 $S$ 相邻。根据“同一条棱上的两端异色”的规则，底面四个顶点均不能使用 $S$ 已经使用的颜色。因此，给 $A, B, C, D$ 着色时，只能从剩下的 4 种颜色中进行选择。

3. 对底面四个顶点的着色方式进行分类讨论并计算

根据对角顶点 $A$ 与 $C$ 是否同色，将底面 $ABCD$ 的着色方法分为以下两类：

1. 当 $A$ 与 $C$ 着同一种颜色时：
   先给 $A$ 着色，有 4 种方法，此时 $C$ 的颜色被唯一确定，有 1 种方法。
   由于 $B$ 与 $A, C$ 都相邻，且 $A, C$ 同色，所以 $B$ 不能与 $A$（及 $C$）同色，有 $4 - 1 = 3$ 种着色方法。
   同理，顶点 $D$ 也有 3 种着色方法。
   此种情况的着色方法数为：
   $4 \times 1 \times 3 \times 3 = 36$ 种。

2. 当 $A$ 与 $C$ 着不同颜色时：
   先给 $A$ 着色，有 4 种方法；再给 $C$ 着色，因为不能与 $A$ 同色，所以有 3 种方法。
   由于 $B$ 与 $A, C$ 都相邻且 $A, C$ 异色，所以 $B$ 不能与 $A$ 且不能与 $C$ 同色，有 $4 - 2 = 2$ 种着色方法。
   同理，顶点 $D$ 也有 2 种着色方法。
   此种情况的着色方法数为：
   $4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$ 种。

综上，底面 $A, B, C, D$ 的着色方法数共有：
$36 + 48 = 84$ 种。

4. 合计算出总的染色方案数

根据分步乘法计数原理，完成该四棱锥染色的总方法数为：
$5 \times 84 = 420$ 种。

因此，不同的染色方法有 $420$ 种，正确选项为 C。