$\int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (4x^3 - 6x^2 + 7x - 1)dx$

1. 通过平移换元将积分区间变换为关于原点对称的形式并化简被积函数

观察积分上下限 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 与 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，它们关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称。

令 $u = x - \frac{1}{2}$，即 $x = u + \frac{1}{2}$，则 $dx = du$。
当 $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 时，$u = -\frac{\sqrt{5}}{2}$；
当 $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 时，$u = \frac{\sqrt{5}}{2}$。

将 $x = u + \frac{1}{2}$ 代入被积表达式：

$$\begin{aligned} 4x^3 - 6x^2 + 7x - 1 &= 4\left(u + \frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(u + \frac{1}{2}\right)^2 + 7\left(u + \frac{1}{2}\right) - 1 \\ &= 4\left(u^3 + \frac{3}{2}u^2 + \frac{3}{4}u + \frac{1}{8}\right) - 6\left(u^2 + u + \frac{1}{4}\right) + 7\left(u + \frac{1}{2}\right) - 1 \\ &= 4u^3 + (6 - 6)u^2 + (3 - 6 + 7)u + \left(\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} - 1\right) \\ &= 4u^3 + 4u + \frac{3}{2} \end{aligned}$$

2. 利用对称区间上奇函数的积分性质计算定积分

原式转化为：
$\int_{-\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \left(4u^3 + 4u + \frac{3}{2}\right) du$

由于 $4u^3 + 4u$ 为奇函数，其在关于原点对称的区间 $\left[-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$ 上的积分为 $0$：
$\int_{-\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{5}}{2}} (4u^3 + 4u) du = 0$

因此，积分简化为：
$\int_{-\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{5}}{2}} \frac{3}{2} du = \frac{3}{2} \left[ \frac{\sqrt{5}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \right] = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{5} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$