计算. $0.\dot{2} \times 2\frac{1}{13} \times 0.2\dot{8}$

1. 将循环小数和带分数转化为分数形式

首先将题目中的循环小数和带分数分别化为分数：
$0.\dot{2} = \frac{2}{9}$
$2\frac{1}{13} = \frac{27}{13}$
设 $x = 0.2\dot{8}$，则 $10x = 2.888\dots$，$100x = 28.888\dots$，相减得 $90x = 26$，故 $0.2\dot{8} = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$。

2. 代入原式计算分数乘法并约分为最简分数

将各分数代入原式：
$0.\dot{2} \times 2\frac{1}{13} \times 0.2\dot{8} = \frac{2}{9} \times \frac{27}{13} \times \frac{13}{45}$
交叉约分，先消去 $13$：
$= \frac{2}{9} \times \frac{27}{1} \times \frac{1}{45}$
再用 $27$ 除以 $9$ 得 $3$：
$= \frac{2 \times 3}{45} = \frac{6}{45}$
分子分母同除以 $3$ 化简：
$= \frac{2}{15}$