用数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为$(\quad)$

A. $54$

B. $60$

C. $72$

D. $120$

1. 对末位数字是否为0进行分类讨论，并计算第一类情况（末位为0）的个数

要组成没有重复数字的五位偶数，需要根据末位数字是否为 $0$ 进行分类讨论。
第一类：当末位数字为 $0$ 时，首位不可能为 $0$，故没有首位不能为 $0$ 的限制。
此时，其余 $4$ 个位置由剩下的四个数字 $1, 2, 3, 4$ 进行全排列，共有：
$A_4^4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 个五位数。

2. 计算第二类情况（末位为2或4）的个数

第二类：当末位数字为 $2$ 或 $4$ 时，末位共有 $C_2^1 = 2$ 种选择。
由于首位数字不能为 $0$，且不能与已经选定的末位数字重复，因此首位数字只能从剩下的 $3$ 个非零数字中任选一个，共有 $C_3^1 = 3$ 种选法。
接着，其余的 $3$ 个中间位置由剩下的 $3$ 个数字（包含 $0$）进行全排列，共有 $A_3^3 = 6$ 种方法。
根据分步乘法计数原理，此类情况共有：
$C_2^1 \times C_3^1 \times A_3^3 = 2 \times 3 \times 6 = 36$ 个五位数。

3. 求和得出最终结果并选择正确选项

根据分类加法计数原理，满足条件的所有没有重复数字的五位偶数的个数为：
$24 + 36 = 60$ 个。
因此，正确答案为 B。