化简 $\displaystyle\frac{\sqrt{x^3 - 9}}{\sqrt{25 - x^2}}$ 并求其定义域。

1. 确定分式及二次根式有意义的条件，求解定义域

要使原式有意义，须同时满足以下两个条件：

1. 分子中的被开方数非负：$x^3 - 9 \geqslant 0 \implies x^3 \geqslant 9 \implies x \geqslant \sqrt[3]{9}$；
2. 分母中的被开方数大于 $0$（分母不能为零）：$25 - x^2 > 0 \implies x^2 < 25 \implies -5 < x < 5$。

取两者的交集：
$\begin{cases} x \geqslant \sqrt[3]{9} \\ -5 < x < 5 \end{cases} \implies \sqrt[3]{9} \leqslant x < 5$
因此，定义域为 $[\sqrt[3]{9}, 5)$。

2. 利用二次根式的商的性质化简表达式

在定义域范围 $\sqrt[3]{9} \leqslant x < 5$ 内，$x^3 - 9 \geqslant 0$ 且 $25 - x^2 > 0$。
根据二次根式的除法法则 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a \geqslant 0, b > 0$），可将原式化简为：
$\frac{\sqrt{x^3 - 9}}{\sqrt{25 - x^2}} = \sqrt{\frac{x^3 - 9}{25 - x^2}}$