已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，定义从 $A$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的对应关系 $R$ 为：对任意 $x \in A$，$y$ 满足方程 $y^2 - 2y + 1 = x$。
(1) 判断对应关系 $R$ 能否构成从集合 $A$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数，并说明理由；
(2) 若将该关系中的方程修改为 $y - 1 = \sqrt{x}$，判断其能否构成从 $A$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数；若能，写出其值域。

1. 解出 $y$ 关于 $x$ 的表达式

方程 $y^2 - 2y + 1 = x$ 可化为 $(y - 1)^2 = x$，解得：
$y = 1 \pm \sqrt{x}$

2. 举出反例检验对应的唯一性

取集合 $A$ 中的元素 $x = 1 \in A$，代入表达式得：
$y = 1 \pm \sqrt{1} \implies y = 0 \text{ 或 } y = 2$
对于自变量 $x = 1$，存在两个不同的实数值 $y = 0$ 和 $y = 2$ 与之对应。

3. 根据函数定义得出结论并说明理由

这不符合函数定义中“对于集合 $A$ 中的任意一个元素 $x$，在集合 $\mathbb{R}$ 中都有唯一确定的元素 $y$ 与之对应”的要求，因此对应关系 $R$ 不能构成从集合 $A$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。

1. 变形方程得到 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式

由方程 $y - 1 = \sqrt{x}$ 移项可得：
$y = 1 + \sqrt{x}$

2. 计算集合 $A$ 中每个元素对应的 $y$ 值并验证唯一性

将集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ 中的元素依次代入：

• 当 $x = 1$ 时，$y = 1 + \sqrt{1} = 2 \in \mathbb{R}$；
• 当 $x = 2$ 时，$y = 1 + \sqrt{2} \in \mathbb{R}$；
• 当 $x = 3$ 时，$y = 1 + \sqrt{3} \in \mathbb{R}$；
• 当 $x = 4$ 时，$y = 1 + \sqrt{4} = 3 \in \mathbb{R}$。
  集合 $A$ 中每一个元素 $x$ 都存在唯一确定的实数 $y$ 与之对应，因此能够构成从 $A$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。

3. 写出函数的值域

由上述计算结果，收集所有 $y$ 的取值组成集合，可得该函数的值域为：
$\{2, 1+\sqrt{2}, 1+\sqrt{3}, 3\}$