走一段路，甲用$15$分钟，乙用$10$分钟，甲和乙速度的最简整数比是 ___，若甲、乙在路的两端同时相向而行，___分钟相遇。

1. 设路程为单位“1”，表示出甲、乙两人的速度

把这段路程看作单位“1”。
由于甲走完全程用 $15$ 分钟，则甲的速度为 $\dfrac{1}{15}$；
由于乙走完全程用 $10$ 分钟，则乙的速度为 $\dfrac{1}{10}$。

2. 求甲、乙速度的最简整数比

甲和乙的速度比为：
$\dfrac{1}{15} : \dfrac{1}{10} = \left(\dfrac{1}{15} \times 30\right) : \left(\dfrac{1}{10} \times 30\right) = 2 : 3$。
所以，甲和乙速度的最简整数比是 $2 : 3$。

3. 计算甲、乙相向而行的相遇时间

若两人在路的两端同时相向而行，其相遇时间为总路程除以甲、乙的速度之和：
$1 \div \left(\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10}\right) = 1 \div \dfrac{5}{30} = 6$（分钟）。
所以，他们会在 $6$ 分钟后相遇。