Here are the first four terms of a sequence. $\displaystyle \frac{13}{5}\quad \frac{10}{10}\quad \frac{7}{15}\quad \frac{4}{20}$

1. 根据已知前4项分子与分母的递变规律，求第5项

观察数列的分母与分子：
分子依次为：$13, 10, 7, 4$，每次减 $3$，因此第 $5$ 项的分子为 $4 - 3 = 1$；
分母依次为：$5, 10, 15, 20$，每次加 $5$，因此第 $5$ 项的分母为 $20 + 5 = 25$。
所以第 $5$ 项为 $\frac{1}{25}$。

1. 分别求出分子与分母关于 $n$ 的通项公式，并组装成 $T_n$

分子为首项 $a = 13$、公差 $d = -3$ 的等差数列：
分子 $= 13 + (n - 1)(-3) = 16 - 3n$

分母为首项 $5$、公差 $5$ 的等差数列：
分母 $= 5n$

因此第 $n$ 项表达式为：
$T_n = \frac{16 - 3n}{5n}$

1. 写出 $T_{n+1}$ 的表达式并进行分式减法通分化简

由 (b) 可知 $T_n = \frac{16-3n}{5n}$，将 $n$ 替换为 $n+1$ 得：
$T_{n+1} = \frac{16 - 3(n+1)}{5(n+1)} = \frac{13 - 3n}{5(n+1)}$

计算相邻项之差：
$T_{n+1} - T_n = \frac{13 - 3n}{5(n+1)} - \frac{16 - 3n}{5n}$
通分，公分母为 $5n(n+1)$：
$T_{n+1} - T_n = \frac{n(13 - 3n) - (n+1)(16 - 3n)}{5n(n+1)}$
$= \frac{(13n - 3n^2) - (16n - 3n^2 + 16 - 3n)}{5n(n+1)}$
$= \frac{13n - 3n^2 - (13n - 3n^2 + 16)}{5n(n+1)} = \frac{-16}{5n(n+1)}$

1. 根据符号性质说明差值表达式恒为负数

对于数列的项数 $n$，$n$ 是正整数（即 $n \ge 1$）。
因此，$n > 0$ 且 $n + 1 > 0$，可得分母 $5n(n+1) > 0$。
又因为分子 $-16 < 0$ 为负常数，根据“负数除以正数得负数”，差值 $\frac{-16}{5n(n+1)}$ 恒小于 $0$。