计算:32+116+2312+⋯+8342=\frac{3}{2} + \frac{11}{6} + \frac{23}{12} + \cdots + \frac{83}{42} = ___

裂项与拆分速算与巧算

完整解法

1. 观察数列各项规律，将每一项改写为基准数与分数的差

观察算式中各项的特征：
第 11 项：32=2−12=2−11×2\frac{3}{2} = 2 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{1 \times 2}
第 22 项：116=2−16=2−12×3\frac{11}{6} = 2 - \frac{1}{6} = 2 - \frac{1}{2 \times 3}
第 33 项：2312=2−112=2−13×4\frac{23}{12} = 2 - \frac{1}{12} = 2 - \frac{1}{3 \times 4}
分母分别为 2,6,12,…,422, 6, 12, \dots, 42，分别对应 1×2,2×3,3×4,…,6×71 \times 2, 2 \times 3, 3 \times 4, \dots, 6 \times 7。
因此，最后一项为 8342=2−142=2−16×7\frac{83}{42} = 2 - \frac{1}{42} = 2 - \frac{1}{6 \times 7}，算式共有 66 项。

2. 拆解重组算式并运用裂项相消法消去中间项

将原式重新分组：

原式=(2−11×2)+(2−12×3)+(2−13×4)+⋯+(2−16×7)=(2+2+2+2+2+2)−(11×2+12×3+13×4+⋯+16×7)=2×6−[(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(16−17)]\begin{aligned} \text{原式} &= \left(2 - \frac{1}{1 \times 2}\right) + \left(2 - \frac{1}{2 \times 3}\right) + \left(2 - \frac{1}{3 \times 4}\right) + \cdots + \left(2 - \frac{1}{6 \times 7}\right) \\ &= (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) - \left(\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{6 \times 7}\right) \\ &= 2 \times 6 - \left[\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right)\right] \end{aligned}

中间大部分分数正负抵消，只保留首尾两项。

3. 计算最终数值

原式=12−(1−17)=12−67=787=1117\text{原式} = 12 - \left(1 - \frac{1}{7}\right) = 12 - \frac{6}{7} = \frac{78}{7} = 11\frac{1}{7}

答案

787\frac{78}{7}（或 111711\frac{1}{7}）

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