已知某学习小组$5$位同学参加学业水平测试$($满分$100$分$)$的平均成绩是$80$分，其中两位女生的成绩分别为$85$分，$75$分，三位男生成绩$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$的方差为$150$． (1)学习小组三位男生成绩$x_{1}$、$x_{2}$、$x_{3}$的平均数是___分； (2)求学习小组$5$位同学成绩的方差．

1. 求出5位同学的分数总和

根据5位同学的平均成绩是$80$分，可得这$5$位同学的总成绩为：
$5 \times 80 = 400$（分）．

2. 计算3位男生的分数总和及平均数

减去两位女生的成绩$85$分和$75$分，得到三位男生的成绩之和为：
$400 - 85 - 75 = 240$（分）．
因此，三位男生成绩的平均数为：
$\bar{x}_{\text{男}} = \frac{240}{3} = 80$（分）．

1. 利用男生的方差求出男生分数与平均数之差的平方和

由第(1)问可知，三位男生的平均成绩为$80$分，其方差为$150$．
设三位男生的成绩分别为$x_1, x_2, x_3$，则三名男生成绩的方差公式为：
$S_{\text{男}}^2 = \frac{1}{3} [(x_1 - 80)^2 + (x_2 - 80)^2 + (x_3 - 80)^2] = 150$
由此可得，三位男生成绩与平均数之差的平方和为：
$(x_1 - 80)^2 + (x_2 - 80)^2 + (x_3 - 80)^2 = 150 \times 3 = 450$．

2. 计算5位同学的整体方差

5位同学的平均成绩为$80$分，其方差$S_5^2$公式为：
$S_5^2 = \frac{1}{5} [(x_1 - 80)^2 + (x_2 - 80)^2 + (x_3 - 80)^2 + (85 - 80)^2 + (75 - 80)^2]$
将上一步求得的代数式值代入，得：
$S_5^2 = \frac{1}{5} [450 + 5^2 + (-5)^2] = \frac{1}{5} [450 + 25 + 25] = \frac{500}{5} = 100$．
所以学习小组$5$位同学成绩的方差为$100$．