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三角恒等式证明

简单三角恒等式的证明

这个知识点的练习题

  1. 1证明 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=tan⁡xsec⁡x\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = \tan x\sec x。 解方程 sin⁡3xsec⁡2x+sin⁡x=5\sin^{3} x\sec^{2} x + \sin x = 5，其中 0≤x≤360∘0 \le x \le 360^\circ。
  2. 2解联立方程组 y=x2−6,y=2x−3.\begin{aligned} y &= x^2 - 6, \\ y &= 2x - 3. \end{aligned} 证明 3cos⁡θ+cos⁡2θ−1cos⁡2θ+2cos⁡θ=2−sec⁡θ\frac{3 \cos \theta + \cos 2\theta - 1}{\cos^2 \theta + 2 \cos \theta} = 2 - \sec \theta…
  3. 3证明 3cos⁡2x+sin⁡2x=2+cos⁡2x3\cos^2 x + \sin^2 x = 2 + \cos 2x。 因此，利用 (a) 部分的结果， 因此，利用 (a) 部分的结果， 求 3cos⁡222.5∘+sin⁡222.5∘3\cos^2 22.5^\circ + \sin^2 22.5^\circ 的精…
  4. 4证明恒等式 cos⁡xcosec x−1+cos⁡xcosec x+1=2tan⁡x\frac{\cos x}{\text{cosec } x - 1} + \frac{\cos x}{\text{cosec } x + 1} = 2 \tan x。 解方程 tan⁡x+2sec⁡2x=5\tan x + 2\sec^2 x = 5…
  5. 5证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此推导 cot⁡15∘\cot 15^\circ 的根式形式的值。 利用第 (i) 部分，求解 0∘≤x≤360∘0^\circ \le x \le 360^\circ 范围内的方程 csc⁡2x+cot⁡2x=6−5tan⁡x\csc 2x + \cot 2x = 6 - 5\tan x…
  6. 6证明三角恒等式：csc⁡2A+2cot⁡A(cos⁡A+sin⁡A)2=csc⁡2A\dfrac{\csc^{2}A + 2\cot A}{(\cos A + \sin A)^{2}} = \csc^{2}A 由此求解方程：csc⁡2A+2cot⁡A=4(cos⁡A+sin⁡A)2对于   0≤x≤360∘.\csc^{2}A + 2\cot A = 4(\cos A + \sin A)^{2} \quad\text{对于 }\; 0 \le x \le 360^{\circ}.…
  7. 7图中显示了曲线 y=4x+5y = \sqrt{4x + 5} 的一部分。曲线在 PP 点处的法线与 xx 轴交于 TT。PP 的 xx 坐标为 5。已知 PTPT 是 PQPQ 的两倍，且 RQRQ 平行于 xx 轴， 求 PP 点…
  8. 8证明恒等式 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{1 - \tan x}{1 + \tan x}。 解方程 cos⁡2x−sin⁡2x1+2sin⁡xcos⁡x=23tan⁡x\dfrac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{1 + 2\sin x\cos x} = \dfrac{2}{3}\tan x…
  9. 9在不使用计算器的情况下，证明 cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}。 由此证明 csc⁡215∘=4cot⁡15∘\csc^2 15^\circ = 4 \cot 15^\circ。
  10. 10证明恒等式 csc⁡4x+cot⁡4x=cot⁡2x\csc 4x + \cot 4x = \cot 2x。 由此，求在 −180∘≤θ≤180∘-180^\circ \le \theta \le 180^\circ 范围内，使 csc⁡2θ+cot⁡2θ=−3\csc 2\theta + \cot 2\theta = -\sqrt{3}…
  11. 11证明 1+cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θ1+cos⁡θ=2csc⁡θ\frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = 2 \csc \theta。
  12. 12证明恒等式 1+cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θ1+cos⁡θ=2csc⁡θ\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = 2\csc \theta。 由此，求在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  13. 13写出 sin⁡−1(−32)\sin^{-1}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) 的主值， tan⁡−1x\tan^{-1}x 的主值必须介于其间的数值， 使方程 4sin⁡2x=k4\sin^{2}x = k 有解的 kk 的取值范围。 证明恒等…
  14. 14证明 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=tan⁡θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = \tan \theta。 求在 00 到 π\pi 之间，满足 sin⁡θ(sec⁡θ−tan⁡θ)(sin⁡θ+1)=1−sec⁡2θ\dfrac{\sin \theta}{(\sec \theta - \tan \theta)(\sin \theta + 1)} = 1 - \sec^2 \theta…
  15. 15证明 (sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)cos⁡3θ=tan⁡3θ−1.\frac{(\sin\theta-\cos\theta)(1+\sin\theta\cos\theta)}{\cos^{3}\theta}=\tan^{3}\theta-1. 由此，对于 0<θ<2π0<\theta<2\pi，求满…
  16. 16证明恒等式 sin⁡2A+cos⁡A1−cos⁡2A+sin⁡A=cot⁡A\frac{\sin 2A + \cos A}{1 - \cos 2A + \sin A} = \cot A 由此，针对 −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi，解方程 1−cos⁡4x+sin⁡2xsin⁡4x+cos⁡2x=5−2sec⁡22x\frac{1 - \cos 4x + \sin 2x}{\sin 4x + \cos 2x} = 5 - 2\sec^2 2x…
  17. 17将 sin⁡3x+cos⁡3x\sin^3 x + \cos^3 x 彻底因式分解。 证明 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=1−12sin⁡2x\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x。 由此解方程 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=54\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = \frac{5}{4}…
  18. 18因式分解 a3+b3a^3 + b^3。 证明 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=1−sin⁡2x2\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \frac{\sin 2x}{2}。 由此，解方程 sin⁡3x+cos⁡3xsin⁡x+cos⁡x=1−sin⁡22x\frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} = 1 - \sin^2 2x…
  19. 19证明恒等式 tan⁡2y−sin⁡2ysec⁡2y(csc⁡2y−1)=tan⁡2ysin⁡4y\frac{\tan^2 y - \sin^2 y}{\sec^2 y (\csc^2 y - 1)} = \tan^2 y \sin^4 y。 由此求解方程 tan⁡2y−sin⁡2ysec⁡2y(csc⁡2y−1)=116tan⁡2y\frac{\tan^2 y - \sin^2 y}{\sec^2 y (\csc^2 y - 1)} = \frac{1}{16} \tan^2 y…
  20. 20证明 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=2csc⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=2\csc x。 由此，求方程 tan⁡2x1+sec⁡2x+1+sec⁡2xtan⁡2x=3sec⁡x\dfrac{\tan 2x}{1+\sec 2x}+\dfrac{1+\sec 2x}{\tan 2x}=3\sec x…
  21. 21证明恒等式 cot⁡θ−1=cos⁡2θsin⁡θ(cos⁡θ+sin⁡θ)\cot \theta - 1 = \dfrac{\cos 2\theta}{\sin \theta (\cos \theta + \sin \theta)}。 由此解方程 cos⁡4θsin⁡2θ(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=−12\dfrac{\cos 4\theta}{\sin 2\theta(\cos 2\theta + \sin 2\theta)} = -\dfrac{1}{2}…
  22. 22证明恒等式 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=2csc⁡x.\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 2\csc x. 由此解方程 sin⁡x1−cos⁡x+1−cos⁡xsin⁡x=5\frac{\sin x}{1-\cos x} + \frac{1-\cos x}{\sin x} = 5…
  23. 23证明恒等式 1+sin⁡xcos⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=2sec⁡x\frac{1 + \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 2 \sec x。 由此，在 0<x<2π0 < x < 2\pi 范围内解方程 1+sin⁡xcos⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=4\frac{1 + \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = 4…
  24. 24求证：2−sec⁡2θsec⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)=1−tan⁡θ\frac{2 - \sec^2 \theta}{\sec \theta (\sin \theta + \cos \theta)} = 1 - \tan \theta。 由此解方程 4−2sec⁡2θsec⁡θ(sin⁡θ+cos⁡θ)=sec⁡2θ−2\frac{4 - 2\sec^2 \theta}{\sec \theta (\sin \theta + \cos \theta)} = \sec^2 \theta - 2…
  25. 25证明恒等式 sin⁡θ1+cos⁡θ=tan⁡θ2\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \tan \dfrac{\theta}{2}。 由此，求方程 1+cos⁡θsin⁡θ=−3\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta} = -3 在 0∘≤θ≤360∘0^\circ \le \theta \le 360^\circ…
  26. 26在不使用计算器的情况下，证明 cot⁡15∘=2+3\cot 15^\circ = 2 + \sqrt{3}。 由此证明 csc⁡215∘=4cot⁡15∘\csc^2 15^\circ = 4 \cot 15^\circ。
  27. 27证明 sec⁡2x1+sec⁡2x=2cos⁡2x+3\dfrac{\sec^2 x}{1 + \sec^2 x} = \dfrac{2}{\cos 2x + 3}。 由此，解方程 sec⁡22x1+sec⁡22x=47\dfrac{\sec^2 2x}{1 + \sec^2 2x} = \dfrac{4}{7}，其…
  28. 28证明 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=sec⁡x\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = \sec x。 在不使用计算器的情况下，解释为什么方程 tan⁡x+cos⁡x1+sin⁡x=−13\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x} = -\frac{1}{3}…
  29. 29证明恒等式 1−sin⁡4xsin⁡2x=cot⁡2x+cos⁡2x\frac{1 - \sin^4 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x + \cos^2 x。 由此解方程 cot⁡22x+cos⁡22x=0\cot^2 2x + \cos^2 2x = 0，其中 0∘<x<180∘0^\circ < x < 180^\circ…
  30. 30证明 csc⁡2x+cot⁡2x=cot⁡x\csc 2x + \cot 2x = \cot x。 由此解方程 csc⁡x+cot⁡x=3\csc x + \cot x = \sqrt{3}，其中 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi。
  31. 31证明 (csc⁡θ+cot⁡θ)2=1+cos⁡θ1−cos⁡θ(\csc\theta + \cot\theta)^2 = \frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta}。 由此，解方程 (csc⁡2θ+cot⁡2θ)2(1−cos⁡2θ)=2cos⁡θ(\csc 2\theta + \cot 2\theta)^2 (1 - \cos 2\theta) = 2 \cos \theta…
  32. 32证明 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=2sin⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=\dfrac{2}{\sin x}。 由此，求方程 tan⁡x1+sec⁡x+1+sec⁡xtan⁡x=1+3sin⁡x\dfrac{\tan x}{1+\sec x}+\dfrac{1+\sec x}{\tan x}=1+3\sin x…
  33. 33证明 tan⁡2θsec⁡2θ−1=cot⁡θ\dfrac{\tan 2\theta}{\sec 2\theta - 1} = \cot \theta。
  34. 34证明恒等式 tan⁡A−cot⁡Atan⁡A+cot⁡A=1−2cos⁡2A\dfrac{\tan A - \cot A}{\tan A + \cot A} = 1 - 2\cos^{2} A。 由此解方程 tan⁡2θ−cot⁡2θtan⁡2θ+cot⁡2θ=12\frac{\tan 2\theta - \cot 2\theta}{\tan 2\theta + \cot 2\theta} = \frac{1}{2}…