数学知识点English

导数符号

标准符号 $f'(x)$ 、 $f''(x)$ 、 $\dfrac{dy}{dx}$ 、 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\left[=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\right]$ 的使用

这个知识点的练习题

1一个高为 $h$ 、底面半径为 $r$ 的圆锥恰好内接于一个半径为 $5\text{ cm}$ 的球体中，如下图所示。 $\left(\text{圆锥的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h\right)$ 用 $h$ 表示…
2图中所示为一个玻璃试管，其半径为 $r\text{ cm}$ ，高度为 $(h+r)\text{ cm}$ ，底部为一个半径为 $r\text{ cm}$ 的半球。试管的表面积为 $12\pi$ 。求证 $h = \frac{6-r^2}{r}$ …
3已知 $y = 3e^{2x} + 2e^{-x}$ ，且 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y = Ae^{2x} + Be^{-x}$ ，求常…
4图中显示了一个棱柱，其横截面为梯形 $ABCD$ 。 $AB = 4x\text{ cm}$ ， $BC = DC = AD = 2x\text{ cm}$ 。该棱柱的长度为 $d\text{ cm}$ 。证明梯形 $ABCD$ 的面积为 $3\sqrt{3}x^2\text{ cm}^2$ …
5一个胶囊由一个圆柱体和在其一端的半球体组成。圆柱体的高为 $h\text{ cm}$ ，半径为 $r\text{ cm}$ 。半球体的半径也为 $r\text{ cm}$ 。（球体体积 = $\frac{4}{3}\pi r^3$ ，球体表面…
6多项式 $f(x)$ 满足 $f(x)=6x^3+ax^2-50x+b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。已知 $f(x)$ 可被 $2x-3$ 整除，且 $f'(1)=6$ 。求 $a$ 和 $b$ 的值。利用你求得的 $a$ 和 $b$ …
7求下列各项的导数，并将结果化简。 $y = 3\left(1 - \frac{x}{3}\right)^4$ $f(x) = (2 - 3x)(\sqrt{1 - 4x})$ $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3x - 2)}{4 + x}$ …
8图中显示了一块场地的轮廓，该场地由一个半径为 $r\text{ m}$ 的半圆弧和直角边长均为 $x\text{ m}$ 的直角三角形的边组成。该场地的周长为 $10\text{ m}$ 。证明该场地的面积 $A\text{ m}^2$ 由…
9已知曲线方程为 $y = \frac{\ln x}{x}$ 。求该曲线驻点的坐标。答案用 $e$ 表示。确定该驻点的性质。
10已知 $f'(x) = \sin 3x - \frac{1}{2x + 1}$ 且 $f(0) = \frac{2}{3}$ 。求 $6f(x) + f''(x)$ 的表达式。
11一条曲线的方程为 $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x + 5$ 。求驻点的坐标并确定这些驻点的性质。求该曲线的最小斜率以及取得最小斜率时的 $x$ 值。
12解方程 $6^{z}(6^{z} - 1) = 12.$ 已知一条曲线的方程为 $y = x e^{3x}$ 。求 $\dfrac{dy}{dx}$ 。求使得 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} = k e^{3x}(2 + 3x)$ …
13图中显示了曲线 $y = 1 - \sin x$ 经过点 $P$ 的部分。曲线在点 $Q$ 处与 $x$ 轴相切。曲线在点 $P$ 处的切线和法线分别交 $x$ 轴于点 $R$ 和 $S$ 。证明 $Q$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{\pi}{2}$ …
14下图显示了一个直角三棱柱。该棱柱三角形面的高和底边长分别为 $3x$ 米和 $4x$ 米。棱柱的长度为 $L$ 米。已知该棱柱的体积为 $240\text{ m}^3$ ，证明该棱柱的表面积 $A\text{ m}^2$ 由下式给出： $A = 12x^2 + \frac{480}{x}.$ …
15一位农民刚刚买了一块土地来种植作物。这块土地由一个边长为 $b\text{ m}$ 的等边三角形、一个边长为 $b\text{ m}$ 和 $l\text{ m}$ 的矩形以及一个直径为 $b\text{ m}$ 的半圆形组成，如下图所示。…
16一条曲线的方程为 $y = \dfrac{\ln 2x}{x}$ 。求 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的表达式，并证明 $x\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + 2\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{1}{x^{2}} = 0$ …