数学知识点English

线性定律

将给定关系（包括 y=axny = ax^{n} 和 y=kbxy = kb^{x}）转化为线性形式，以通过直线图确定未知常数

这个知识点的练习题

  1. 1放射性物质的质量 mm 毫克随着时间 tt 小时而减少。测得的 mm 和 tt 的值见下表。 | t (小时) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | m (毫…
  2. 2药物通过注射方式输入病人体内。经过时间 tt 小时后，病人体内的药物浓度 xx mg/ll 满足以下方程： x=xoe−kt,x = x_o e^{-kt}, 其中 xox_o 和 kk 是常数。下表记录了 xx 和 tt 的一些数值：…
  3. 3下表显示了两个变量 xx 和 yy 的实验值。 | xx | 2 | 4 | 6 | 8 | |---|---|---|---|---| | yy | 2.25 | 0.81 | 0.47 | 0.33 | 在坐标纸上，绘制 xyxy…
  4. 4下表给出了 xx 和 yy 的测量值。 | xx | 1.2 | 1.6 | 2.0 | 2.6 | 3.5 | 4.5 | |---|---|---|---|---|---|---| | yy | 11.1 | 6.29 | 3.…
  5. 5下表显示了 xx 和 yy 的实验值。 | xx | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | yy | 11.8 | 16.2 | 23.5 | 35.5 | 55.2 | 已…
  6. 6图中显示了曲线 y=4−e−2xy = 4 - e^{-2x} 的一部分，它与坐标轴相交于 AA 和 BB 两点。 求 AA 和 BB 的坐标。 曲线在 BB 点处的法线与 xx 轴交于 CC 点。 求 CC 的坐标。 求阴影区域的面积…
  7. 7一幅通过绘制 xy\frac{x}{y} 关于 x2x^2 的图象得到的直线图通过点 (−2,5)(-2, 5) 和 (4,8)(4, 8)。 证明 y=2xx2+12y = \frac{2x}{x^2 + 12}。
  8. 8一锅融化的巧克力从其初始温度冷却到温度 T∘CT^\circ\text{C} 需要 xx 分钟，并符合形式为 T=A(Bx)T = A(B^x) 的方程，其中 AA 和 BB 是常数。 巧克力的凝固点是 17∘C17^\circ\text{C}。下表…
  9. 9下表给出了两个变量 xx 与 yy 的实验值。已知 xx 与 yy 通过形如 y=h(x+1)ky = h(x+1)^k 的方程相关联，其中 hh 和 kk 为常数。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|…
  10. 10已知变量 x 和 y 满足关系式 y=px+qxy = px + \frac{q}{x}，其中 p 和 q 为常数。 下表给出了 x 和 y 的一些实验值。 在下方网格中，绘制 xyxy 关于 x2x^{2} 的图象，并画出一条直线。 在下方网格中，…
  11. 11某国在不同年份 1 月份记录的人口数 PP（以百万为单位）如下表所示。 | 年份 | 2005 | 2010 | 2015 | 2020 | |---|---|---|---|---| | PP | 12.95 | 14.67 | 17…
  12. 12一位研究人员对已使用 24 小时的医用外科口罩和可重复使用口罩进行了颗粒过滤效率（PFE）测试。箱线图表示 PFE 得分的分布。 求可重复使用口罩 PFE 得分的极差。 答：... 求医用外科口罩 PFE 得分的四分位距。 答：... 对医…
  13. 13图中显示了曲线 y=27+8(x−2)3y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3} 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 AA 和点 BB。 解释为什么该曲线没有驻点。 求 AA 和 BB 的坐标。 求曲线在点 BB 处的法线方程。 曲线在点 BB…
  14. 14某种细菌的数量 nn 随着时间 tt（分钟）而增加。记录的 nn 和 tt 的值如下表所示。 | t | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | n | 3215…
  15. 15指出该图表中可能具有误导性的一个方面，并解释这可能会如何导致对图表的误读。 ...
  16. 16图示为当 0≤x≤π0 \le x \le \pi 时，曲线 y=cos⁡x+sin⁡xy = \cos x + \sin x。该曲线与 yy 轴交于点 AA，与 xx 轴交于点 BB。 证明点 BB 的 xx 坐标为 3π4\frac{3\pi}{4}。…
  17. 17下表记录了行星距离太阳中心的近似平均距离 xx（单位：百万千米）以及公转周期 TT（单位：地球年）。 | | 水星 | 金星 | 火星 | 天王星 | |---|---|---|---|---| | xx | 58 | 108 | 2…
  18. 18某种细菌的数量 NN 与温度 t∘Ct^\circ\text{C} 的平方根成反比，其中 t>0t > 0。求当细菌数量翻倍时，温度下降的百分比。 答案 ... %
  19. 19求 ddx(3x2ln⁡x)\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(3x^{2}\ln x\right)。 由此求出 ∫xln⁡x dx\int x\ln x\,\mathrm{d}x。 图中显示了直线 x=2x = 2 和曲线 y=xln⁡xy = x\ln x…
  20. 20变量 xx 和 yy 满足关系 y=2x+82x+1y = \frac{2x+8}{2x+1}。若以 x(1−y)x(1-y) 的值为纵坐标，yy 的值为横坐标作图，可以得到一条直线。该直线分别与纵轴和横轴交于 AA 和 BB。 求 AA 和 BB…
  21. 21下载某款游戏软件所需的时间 tt（分钟）与互联网网速 xx Mbps 相关。变量 xx 和 tt 满足公式 t=ab+xt = \frac{a}{b + x}，其中 aa 和 bb 是正常数。下表显示了 xx 和 tt 的部分测量值…
  22. 22根据绘制 x2yx^2 y 关于 xx 的图线，图示展示了所得直线的一部分。 求 yy 关于 xx 的表达式。 当 y=5x2y = \frac{5}{x^2} 时，求 xx 的值。 对于上述在第 (i) 部分中求得的方程，提出另一组纵轴和…
  23. 23将一个固体加热后，放置在房间内的容器中冷却。在时间为 tt 小时时，其温度与周围室温的温差为 T∘CT^\circ\text{C}。下表显示了记录的一些 tt 和 TT 的值。 变量 tt 和 TT 通过方程 T=aebtT = a e^{b t}…
  24. 24完成关于 y=9x3+5x2−3x+1y = 9x^3 + 5x^2 - 3x + 1 的表格。 答案精确到小数点后一位。 | xx | −1-1 | −0.75-0.75 | −0.5-0.5 | −0.25-0.25 | 00 | 0.250.25 | 0.50.5 | 0.750.75…
  25. 25下表显示了两个变量 x 和 y 的实验值，它们由 y=kxny = \frac{k}{x^{n}} 形式的方程联系在一起，其中 n 和 k 是常数。 绘制 lg⁡y\lg y 关于 lg⁡x\lg x 的图表，并画出一条直线来展示这些信息。 利用你的图表…
  26. 26一个在某种介质中运动的物体，速度为 vv m/s，受到大小为 RR 牛顿的运动阻力。RR 与 vv 满足方程 R=av2+bvR = av^2 + bv，其中 aa 和 bb 为常数。 下表显示了变量 vv 和 RR 的实验测量值。 |…
  27. 27已知 xx 和 yy 满足关系式 y=abx+4y = ab^x + 4，其中 aa 和 bb 为常数。 绘制 lg⁡(y−4)\lg(y-4) 对 xx 的直线图，在 xx 轴上使用 2 cm 代表 1 个单位，在 lg⁡(y−4)\lg(y-4) 轴上使用…
  28. 28解方程 (ln⁡x)2+2log⁡xe=3(\ln x)^2 + \frac{2}{\log_x e} = 3。 陈太太决定追踪她新生女婴的年龄 xx（以月为单位）与女婴头围 yy（以厘米为单位）之间的关系。 绘制了第 11、第 66、第 1212、第 1818…
  29. 29下表显示了两个变量 xx 和 yy 的实验值。 | xx | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | |---|---|---|---|---| | yy | 15.9 | 19.1 | 23.4 | 30.2 | 已知 xx…
  30. 30某种放射性物质的质量为 mm 毫克（mg），随时间 tt 小时（hours）递减。 已知 mm 和 tt 满足方程 m=Me−ktm = M e^{-kt}，其中 MM 和 kk 是常数。 下表显示了 mm 和 tt 的测量值。 |…
  31. 31一杯热巧克力牛奶冷却至室温时的温度 θ∘C\theta^\circ C 可以用公式 θ=27+qb−t\theta = 27 + q b^{-t} 来建模，其中 qq 和 bb 为常数，tt 是冷却时间（单位：分钟）。tt 和 θ\theta 的…
  32. 32陆先生于 1980 年在银行存入了一笔钱。投资价值 VV（以千美元为单位）可以用形如 V=V0ktV = V_0 k^t 的方程来建模，其中 V0V_0 和 kk 是常数，tt 是自陆先生投资以来的年数。 下表给出了 VV 和 tt 的一…
  33. 33下表给出了两个变量 xx 和 yy 的实验值，它们通过方程 y=aebx−1y = ae^{bx - 1} 相关联，其中 aa 和 bb 为常数。 | xx | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---…
  34. 34在下方坐标轴中，草拟 y=−3sin⁡xy = -3\sin x 和 y=1−2xπy = 1 - \frac{2x}{\pi} 在 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi 范围内的图像。 求方程 2x=π+3πsin⁡x2x = \pi + 3\pi \sin x 在 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi…
  35. 35设计师包 X 于 1950 年首次发布。包的价格 VV 与自 1950 年以来的年数 tt 之间的关系可以用公式 V=aekt,V = ae^{kt}, 来表示，其中 aa 和 kk 是常数。 下表给出了包 X 在 1984 年、2002…
  36. 36图示为曲线 y=5+4e2xy = 5 + \frac{4}{e^{2x}} 的一部分，该曲线与 yy 轴交于点 PP。 曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴交于 QQ。 求阴影区域的面积。
  37. 37下表给出了两个变量 xx 和 yy 的实验值，它们通过形如 ay=bx+1\frac{a}{y} = \frac{b}{x} + 1 的方程相联系，其中 aa 和 bb 为常数。 | xx | 1.25 | 2 | 2.5 | 5 | |-…
  38. 38在韦恩图上，阴影表示出 (A∪B′)∩(A′∪B)(A \cup B') \cap (A' \cup B) 所代表的区域。 E={(x,y):x+y≤10}\mathcal{E} = \{(x, y): x + y \le 10\} A={(0,1),(1,2),(1,4),(1,5)}A = \{(0, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 5)\}…
  39. 39一家拍卖行声称，投资他们的艺术品是值得的，因为其中一件艺术品自创作以来，其价值一直呈指数级增长。 这件艺术品的价值 $V\char36{}V 与 tt 相关，其中 tt 是自1995年初创作以来的年数。 变量 VV 和 tt 可以用方程 V=10  000+aektV = 10\;000 + ae^{kt}…
  40. 40图中显示了曲线 y=−10−6xy = -\sqrt{10 - 6x} 的一部分与 xx 轴交于点 A。曲线在 x=−1x = -1 处的点 B 处的法线交 xx 轴于点 C。 求在 B 点处的法线方程。 求阴影区域的面积。
  41. 41图中显示了曲线 y=1−sin⁡xy = 1 - \sin x 经过点 PP 的部分。曲线在点 QQ 处与 xx 轴相切。曲线在点 PP 处的切线和法线分别交 xx 轴于点 RR 和 SS。 证明 QQ 的 xx 坐标为 π2\frac{\pi}{2}…
  42. 42下表显示了两个变量 x 和 y 的实验值。已知 x 和 y 满足关系式 y=Akxy = A k^x，其中 AA 和 kk 是常数。 (i) 在下方的网格中，以 x 为横轴，lg y 为纵轴进行描点，并画出一条直线以展示这些信息。 (ii)…
  43. 43下表显示了一个小镇的人口 PP（以千为单位）随时间 tt（年）减少的情况。 清晰地写出计算步骤，并在所提供的网格上绘制 ln⁡P\ln P 关于 tt 的直线图。 求你所画直线的斜率，并由此将 PP 表示为 Ae−ktAe^{-kt} 的形式…
  44. 44在同一坐标系中，画出当 0≤x≤π0 \le x \le \pi 时 y=−2cos⁡3x+1y=-2\cos 3x+1 与 y=−2πx+1y= -\dfrac{2}{\pi}x+1 的图象。 解释如何利用图象求方程 2cos⁡3x=2πx2\cos 3x = \dfrac{2}{\pi}x…
  45. 45在探究表面上的光照强度 I（勒克斯）与距离光源的距离 d（米）之间关系的实验中，一名学生得到了以下结果。其中一个 I 的值是错误的。 表格： | d (米) | 2 | 5 | 10 | 20 | 30 | |---|---:|---:|-…
  46. 46表中给出了两个变量 x 和 y 的实验值。 将方程化为适合绘制直线图的形式。 在第 19 页的网格纸上，画出代表上述数据的直线图。 利用你的图像估算 aa 和 bb 的值。 利用你的图像求当 x=0.8x = 0.8 时 yy 的值。
  47. 47下图显示了曲线 y=x3−12x2+20xy = x^3 - 12x^2 + 20x，它与 xx 轴交于原点 OO 以及点 AA 和 BB。 曲线在点 (8,−96)(8, -96) 处的切线与 xx 轴交于点 CC。 求 AA 和 BB 的坐标。 求切线…
  48. 48图 AA, BB, CC, DD, EE 和 FF 展示了六个不同函数的图像。 选择最符合下列特征的图像： yy 与 xx 成反比， 图像 ... y=xny = x^n，其中 nn 是大于 1 的奇整数， 图像 ... y=nxy = n^x…
  49. 49函数 ff 定义在 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi 上，其表达式为 f(x)=1−2cos⁡2xf(x) = 1 - 2 \cos 2x。 写出 ff 的周期和振幅。 画出 y=f(x)y = f(x) 在 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi 范围内的图像草图…
  50. 50该图显示了通过绘制 1y\frac{1}{y} 对 1x\frac{1}{x} 的图象所得到的一条直线的一部分。 用 xx 表示 yy。
  51. 51对于方程 py=xy+1py = xy + 1（其中 pp 为未知常数），可以用一条直线表示，其形式为 Y=mX+cY = mX + c，其中 XX 和 YY 是 xx 和/或 yy 的函数，而 mm 和 cc 是常数。利用下表，在其中填入 YY…