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图形计算器

使用图形计算器或绘图软件绘制给定函数的图像。

这个知识点的练习题

  1. 1在同一坐标系中，画出 y=5−1x−1y=5-\dfrac{1}{x-1} 和 y=1(x−5)2y=\dfrac{1}{(x-5)^2} 的图像草图。 解不等式 5−1x−1<1(x−5)25-\dfrac{1}{x-1}<\dfrac{1}{(x-5)^2}。
  2. 2在同一坐标系中画出 y=3exy = 3e^x and y=x+3y = x + 3 的函数图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。 解不等式 3ex>x+33e^x > x + 3。 因此求出 ∫−22∣3ex−x−3∣ dx\int_{-2}^{2} |3e^x - x - 3| \, \mathrm{d}x…
  3. 3绘制函数 y=7−2x3x2+x−14y = \frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} 的图像。给出渐近线的方程、极值点的坐标以及曲线与坐标轴的交点坐标。 求 kk 的取值范围，使得 7−2x3x2+x−14=k\frac{7-2x}{3x^2 + x - 14} = k…
  4. 4下图显示了两个可导函数 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像。在 x=cx = c 处，两个函数之间的距离达到最大值。证明 f′(c)=g′(c)f'(c)=g'(c)，其中 f′(x)f'(x) 和 g′(x)g'(x) 分别是 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)…
  5. 5曲线 C1C_1 和 C2C_2 的方程分别为 y=2x2+9x2−4y = \frac{2x^2 + 9}{x^2 - 4} 和 y225−x29=1\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{9} = 1。 在同一坐标系中画出 C1C_1 和 C2C_2 的…
  6. 6画出方程为 y=ln⁡(x+1),x>−1y = \ln(x+1), x > -1 的曲线草图，写出渐近线方程以及与坐标轴的交点。在同一坐标系中，画出方程为 y=9−x2,−3≤x≤3y = \sqrt{9-x^2}, -3 \le x \le 3 的曲线草图，写出与坐标轴的交点。 利用…
  7. 7函数 f 的定义为 f:x↦4+1(x−1)2+1,x≥0f : x \mapsto 4 + \dfrac{1}{(x-1)^2 + 1},\quad x \ge 0。 函数 g 的定义为 g : x \mapsto \sin x,\quad x \in [0,2\pi]。画出。 画出 …
  8. 8曲线 CC 的方程为 y=xcos⁡2xy = x\cos 2x，其中 0≤x≤π0 \le x \le \pi。 求 CC 与 xx 轴相交之点的精确 xx 坐标。 画出 CC 的草图，并写出该曲线与 xx 轴和 yy 轴的所有交点的坐标。 求…
  9. 9在同一幅图中，画出方程为 y=∣x+1∣∣x−2∣y = \frac{|x + 1|}{|x - 2|} 和 y=ln⁡(1−x2)+12y = \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right) + \tfrac{1}{2} 的曲线，指出所有渐近线的方程以及与坐标轴的交…
  10. 10函数 f\mathrm{f} 定义为 f:x↦2xx2−1,x∈R, x>1\mathrm{f} : x \mapsto \frac{2x}{x^2 - 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \ x > 1。 草绘 f\mathrm{f} 的图像并证明…
  11. 11星形线（astroid）是具有参数方程 x=acos⁡3t, y=asin⁡3t.x = a \cos^3 t, \ y = a \sin^3 t. 的曲线。 画出 a=2a = 2 且 0≤t≤π20 \le t \le \frac{\pi}{2} 时的星形线草图，并清晰地标出所有…
  12. 12在一个拥有 500 万人口的城市中，一家新公司的客户数量增长速率与非其客户的人数成正比。该公司认定，为了使其业务盈利，在任何时间点它必须拥有至少 100 万客户。 该公司在运营第三年年底时拥有 100 万客户，其初始客户基数为 0。假设在任…
  13. 13一族曲线由微分方程 xdydx−y=x(x−y)x\dfrac{dy}{dx}-y=x(x-y) 给出。 通过代换 y=vxy=vx，证明该曲线族可表示为 y=x(1−Ae−x)y = x(1-Ae^{-x})。 在同一个图中，画出对应于正值 AA 的该曲线族中的三条曲线。 求对应于…
  14. 14曲线 CC 的参数方程为 x=t+2et,y=2t+e−t,t>−2.x = t + 2e^t, \quad y = 2t + e^{-t}, \quad t > -2. 草绘 CC。 求该曲线在 t=0t = 0 的点 PP 处的法线方程。
  15. 15若对于函数 f\mathrm{f} 定义域内的所有 xx，都有 f(x)=f−1(x)\mathrm{f}(x) = \mathrm{f}^{-1}(x)，则称该函数为自身反函数。 函数 g\mathrm{g} 定义为 g:x↦x2+2x2−1,x>1.\mathrm{g} : x \mapsto \sqrt{\frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}}, \quad x > 1.…
  16. 16曲线 GG 的方程为 y=ax+b+c(x+1)2y = ax + b + \dfrac{c}{(x+1)^2}，其中 aa、bb 和 cc 是正整数。 设 RR 是由曲线 GG、坐标轴以及直线 x=3x = 3 围成的区域。 解释为什么对于所有 x>0x > 0…
  17. 17在同一坐标系中草绘 y=3exy=3e^{x} 和 y=x+3y=x+3 的图像。清晰地标出这两个图像交点的坐标。 解不等式 3ex>x+33e^{x} > x + 3。 (b) 由此求出 ∫−22∣2ex−x−3∣ dx\displaystyle \int_{-2}^{2} |2e^{x} - x - 3|\, dx…
  18. 18函数 f\mathrm{f} 的定义为 f:x↦ln⁡x2−(ln⁡x)2,x>0.\mathrm{f} : x \mapsto \ln x^2 - (\ln x)^2, \quad x > 0. 草拟 y=f(x)y = \mathrm{f}(x) 的图像，并清晰标出与坐标轴的所…
  19. 19函数 f 的定义如下。 f : x−>−1x2+1x -> \displaystyle -\frac{1}{x^{2}+1}，其中 x∈Rx \in \mathbb{R}。 画出 y = f(x) 的图像草图。 如果 f 的定义域限制为 x≤kx \le k…
  20. 20曲线 CC 的参数方程为 x=t2−1,y=4t−t3+15,x = t^2 - 1,\qquad y = 4t - t^3 + 15, 其中 t∈Rt \in \mathbb{R}。 证明曲线 CC 与 x 轴交于点 (8,0)(8, 0)，与 y 轴交于点 (0,12)(0, 12)…
  21. 21上图显示了方程为 y=ln⁡xx2y = \frac{\ln x}{x^2} 的曲线 C1C_1，其中 x≥1x \ge 1。 证明 C1C_1 上的极值点的精确坐标为 (e,12e)\left(\sqrt{\text{e}}, \frac{1}{2\text{e}}\right)…
  22. 22对于 −1≤t≤1-1 \le t \le 1，曲线 C1C_1 的参数方程为 x=3t3+2t2x=3t^3+2t^2 且 y=−t3+2t2+1y=-t^3+2t^2+1。 另一条曲线 C2C_2 的方程为 x2+(y−1)2=kx^2+(y-1)^2=k，其中 k∈R+k\in\mathbb{R}^+…
  23. 23曲线 CC 的参数方程为 x=3t3, y=31+t2,t∈R.x = 3t^3,\ y = \frac{3}{1+t^2},\quad t \in \mathbb{R}. 用 tt 表示 dydx\frac{\text{d}y}{\text{d}x}。解释为什么 CC…
  24. 24在本题中，你可以使用公式表（MF27）中的展开式。 求 ln⁡(1+cos⁡3x)\ln(1 + \cos 3x) 按 xx 的升幂排列的麦克劳林展开式，直至并包括 x4x^4 项，其中 0≤x<π30 \le x < \frac{\pi}{3}。 利用第 **(i)…
  25. 25曲线 CC 由参数方程定义： x=1−cos⁡t,y=sin⁡2t,where 0≤t≤π2.x = 1 - \cos t, \quad y = \sin 2t, \quad \text{where } 0 \le t \le \frac{\pi}{2}. 草拟曲线 CC 的图像，并给出 CC…
  26. 26函数 f\text{f} 和 g\text{g} 定义如下： f:x↦ln⁡(3x−2)x,x>23\text{f} : x \mapsto \frac{\ln(3x - 2)}{x}, x > \frac{2}{3} g:x↦3x2−12x+13,x∈R\text{g} : x \mapsto 3x^2 - 12x + 13, x \in \mathbb{R}…
  27. 27曲线 CC 的参数方程为 x=t2−1,y=4t−t3+15,其中 t∈R.x = t^2 - 1, \quad y = 4t - t^3 + 15, \quad \text{其中 } t \in \mathbb{R}. 证明曲线 CC 与 xx 轴相交于点 (8,0)(8, 0)…
  28. 28曲线 C 由以下参数方程定义： x=cos⁡t+12cos⁡5t,y=sin⁡t+12sin⁡5tx = \cos t + \dfrac{1}{2} \cos 5t, \quad y = \sin t + \dfrac{1}{2} \sin 5t \quad（其中 0≤t≤π20 \le t \le \dfrac{\pi}{2}…
  29. 29在同一幅图中，画出方程为 y=∣x+1x−2∣y = \left|\frac{x + 1}{x - 2}\right| 和 y=ln⁡(1−x2)+12y = \ln\left(1 - \frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2} 的曲线，指出所有渐近线的方程…
  30. 30曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡θ−2cos⁡3θ,x = 3\cos\theta - 2\cos 3\theta , y=9sin⁡θ−sin⁡3θ,y = 9\sin\theta - \sin 3\theta , 其中 0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi。 画出…
  31. 31曲线 CC 的方程为 y=x−3(x−2)(x+5)y = \dfrac{x-3}{(x-2)(x+5)}。画出 CC 的草图，并给出渐近线方程、驻点坐标以及 CC 与坐标轴的交点坐标。 描述将 CC 映射到 y=2x−3(x−1)(2x+5)y = \dfrac{2x-3}{(x-1)(2x+5)}…